polinomio matricial

En matemáticas, un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario con valores escalares

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

este polinomio evaluado en una matriz${\displaystyle A}$es

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad . ^{[ 1 ]}

Tenga en cuenta que${\displaystyle P(A)}$tiene la misma dimensión que${\displaystyle A}$.

Una ecuación polinómica matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial M _n ( R ).

Los polinomios matriciales se suelen utilizar en las clases de álgebra lineal de pregrado debido a su relevancia para mostrar propiedades de las transformaciones lineales representadas como matrices, en particular el teorema de Cayley-Hamilton .

El determinante de un polinomio matricial con coeficientes hermíticos definidos positivos (semidefinidos) es un polinomio con coeficientes positivos (no negativos). ^{[ 2 ]}

El polinomio característico de una matriz A es un polinomio escalar, definido por${\displaystyle p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)}$El teorema de Cayley-Hamilton establece que si este polinomio se considera como un polinomio matricial y se evalúa en la matriz${\displaystyle A}$En sí misma, el resultado es la matriz cero:${\displaystyle p_{A}(A)=0}$Un polinomio anula${\displaystyle A}$si${\displaystyle p(A)=0}$;${\displaystyle p}$también se conoce como un polinomio anulador . Por lo tanto, el polinomio característico es un polinomio que anula${\displaystyle A}$.

Existe un polinomio mónico único de grado mínimo que aniquila${\displaystyle A}$; este polinomio es el polinomio mínimo . Cualquier polinomio que anule${\displaystyle A}$(como el polinomio característico) es un múltiplo del polinomio mínimo. ^{[ 3 ]}

De ello se deduce que dados dos polinomios${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, tenemos${\displaystyle P(A)=Q(A)}$si y solo si

${\displaystyle P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{para }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ y }}i=1,\ldots ,s,}$

dónde${\displaystyle P^{(j)}}$denota el${\displaystyle j}$derivada de${\displaystyle P}$y${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$son los valores propios de${\displaystyle A}$con los índices correspondientes${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$(el índice de un valor propio es el tamaño de su bloque de Jordan más grande ). ^{[ 4 ]}

Los polinomios matriciales se pueden usar para sumar una serie geométrica matricial como se haría con una serie geométrica ordinaria .

${\displaystyle S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}}$

${\displaystyle AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}}$

${\displaystyle (IA)S=S-AS=IA^{n+1}}$

${\displaystyle S=(IA)^{-1}(IA^{n+1})}$

Si${\displaystyle IA}$es no singular se puede evaluar la expresión para la suma${\displaystyle S}$.

• Teorema de Latimer-MacDuffee
• exponencial matricial
• Función matricial

• Gohberg, Israel; Lancaster, Peter ; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Polinomios matriciales . Clásicos en matemáticas aplicadas. Vol.  58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics . ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl 1170.15300 . 
• Higham, Nicholas J. (2000). Funciones de matrices: teoría y computación . SIAM. ISBN 089-871-777-9..
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Análisis matricial . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6..