Teorema de Silverman-Toeplitz

En matemáticas , el teorema de Silverman-Toeplitz , demostrado por primera vez por Otto Toeplitz , es un resultado de la teoría de sumabilidad de series que caracteriza los métodos regulares de sumabilidad de matrices . Un método regular de sumabilidad de matrices es una transformación lineal de secuencias que preserva los límites de las secuencias convergentes . ^[¹^] La transformación lineal de secuencias se puede aplicar a las secuencias divergentes de sumas parciales de series divergentes para obtener sumas generalizadas de dichas series.

Una matriz infinita $(a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }$ con entradas de valor complejo define un método de sumabilidad de matrices regular si y solo si satisface todas las propiedades siguientes:

{\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(Cada secuencia de columnas converge a 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(Las sumas de las filas convergen a 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(Las sumas absolutas de las filas están acotadas.)}}\end{aligned}}

Un ejemplo es la suma de Cesàro , un método de sumabilidad de matrices con

a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}.

Declaración formal

Sea la matriz infinita antes mencionada $(a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }$ de elementos complejos que satisfacen las siguientes condiciones:

$\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0$ para cada fijo $j\in \mathbb {N}$ .
$\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert <\infty$ ;

y $z_{n}$ ser una secuencia de números complejos que converge a $\lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }$ . Denotamos $S_{n}$ como la secuencia de suma ponderada: $S_{n}=\sum _{m=1}^{n}a_{n,m}z_{m}$ .

Entonces se cumplen los siguientes resultados:

Si $\lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }=0$ , entonces $\lim _{n\to \infty }{S_{n}}=0$ .
Si $\lim _{n\to \infty }z_{n}=z_{\infty }\neq 0$ y $\lim _{i\to \infty }\sum _{j=1}^{i}a_{i,j}=1$ , entonces $\lim _{n\to \infty }{S_{n}}=z_{\infty }$ . ^{[ 2 ]}

Prueba

Demostración 1.

Para el fijo $j\in \mathbb {N}$ las secuencias complejas $z_{n}$ , $S_{n}$ y $a_{i,j}$ se aproximan a cero si y solo si las secuencias de valores reales $\left|z_{n}\right|$ , $\left|S_{n}\right|$ y $\left|a_{i,j}\right|$ se aproximan a cero respectivamente. También introducimos $M=1+\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert >0$ .

Desde $\left|z_{n}\right|\to 0$ , para elegido prematuramente $\varepsilon >0$ existe $N_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ , así que para cada $n>N_{\varepsilon }$ tenemos $\left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$ A continuación, para algunos $N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }$ Es cierto que $\sum _{m=1}^{n}|a_{n,m}|<{\frac {\varepsilon }{2\left(\max _{m\leq N_{\varepsilon }}|z_{m}|+1\right)}}$ por cada $n>N_{a}\left(\varepsilon \right)$ . Por lo tanto, para cada $n>N_{a}\left(\varepsilon \right)$

${\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{m}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)<\\&<\max _{1\leq m\leq N_{\varepsilon }}(|z_{m}|)\cdot \sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}|a_{n,m}|+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}$

lo que significa que ambas secuencias $\left|S_{n}\right|$ y $S_{n}$ converge a cero. ^{[ 3 ]}

Demostración 2.

$\lim _{n\to \infty }\left(z_{m}-z_{\infty }\right)=0$ . Aplicando la afirmación ya probada se obtiene . Finalmente, $\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}=0$

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{m}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }$ , lo cual completa la demostración.

Referencias

Citas

↑ Teorema de Silverman-Toeplitz , por Brian Ruder, publicado en 1966, número de catálogo LD2668 .R4 1966 R915, editorial Kansas State University, Internet Archive
↑ Linero, Antonio; Rosalsky, Andrew (1 de julio de 2013). "Sobre el lema de Toeplitz, la convergencia en probabilidad y la convergencia media" (PDF) . Stochastic Analysis and Applications . 31 (4): 684– 694. doi : 10.1080/07362994.2013.799406 . ISSN 0736-2994 . Consultado el 17 de noviembre de 2024 .
↑Ljashko, Ivan Ivanovich; Bojarchuk, Alexey Klimetjevich; Gaj, Jakov Gavrilovich; Golovach, Grigory Petrovich (2001). Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике[Mathematical analysis: the introduction into analysis, derivatives, integrals. The handbook to mathematical analysis.] (in Russian). Vol. 1 (1st ed.). Moskva: Editorial URSS. p. 58. ISBN 978-5-354-00018-0.