Frecuencia de Matsubara

En la teoría cuántica de campos térmicos , la suma de frecuencias de Matsubara (llamada así por Takeo Matsubara ) es una técnica utilizada para simplificar los cálculos que involucran integrales de trayectoria euclidianas (de tiempo imaginario) . ^[1]

En la teoría cuántica de campos térmicos, los campos cuánticos bosónicos y fermiónicos son, respectivamente, periódicos o antiperiódicos en tiempo imaginario , con periodicidad . La suma de Matsubara se refiere a la técnica de expandir estos campos en series de Fourier. ${\displaystyle \phi (\tau )}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \beta =\hbar /k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle \phi (\tau )={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\sum _{n}e^{-i\omega _{n}\tau }\phi (i\ omega _{n})\Leftrightarrow \phi (i\omega _{n})={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\int _{0}^{\beta }d\tau \ e^{i\omega _{n}\tau }\phi (\tau ).}$

Las frecuencias se denominan frecuencias de Matsubara y toman valores de cualquiera de los siguientes conjuntos (con ): ${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z}}$

frecuencias bosónicas:${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }},}$

frecuencias fermiónicas:${\displaystyle \omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }},}$

que imponen respectivamente condiciones de contorno periódicas y antiperiódicas en el campo . ${\displaystyle \phi (\tau )}$

Una vez realizadas dichas sustituciones, ciertos diagramas que contribuyen a la acción toman la forma de una denominada suma de Mastubara.

${\displaystyle S_{\eta}={\frac {1}{\beta}}\sum _{i\omega _{n}}g(i\omega _{n}).}$

La suma convergerá si tiende a 0 en el límite de una manera más rápida que . La suma sobre frecuencias bosónicas se denota como (con ), mientras que sobre frecuencias fermiónicas se denota como (con ). es el signo estadístico. ${\displaystyle g(z=i\omega )}$${\displaystyle z\to \infty}$$estilo de visualización z^{-1}}$$Estilo de visualización S_{\rm {B}}}$${\displaystyle \eta = +1}$$Estilo de visualización S_{\rm {F}}}$${\displaystyle \eta = -1}$${\estilo de visualización \eta}$

Además de la teoría cuántica de campos térmicos, el método de suma de frecuencias de Matsubara también juega un papel esencial en el enfoque diagramático de la física del estado sólido, es decir, si se consideran los diagramas a temperatura finita. ^{[2] [3] [4]}

En términos generales, si en , un cierto diagrama de Feynman está representado por una integral , a temperatura finita está dado por la suma . ${\displaystyle T=0\,{\text{K}}}$${\displaystyle \int _{T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )}$$estilo de visualización S_{\eta}$

El truco para evaluar la suma de frecuencias de Matsubara es usar una función de ponderación de Matsubara h _η ( z ) que tenga polos simples ubicados exactamente en . ^[4] Las funciones de ponderación en el caso del bosón η  = +1 y el caso del fermión η  = −1 difieren. La elección de la función de ponderación se discutirá más adelante. Con la función de ponderación, la suma se puede reemplazar por una integral de contorno que rodea el eje imaginario. ${\displaystyle z=i\omega _ {n}}$

${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )={\frac {1}{2\pi i\beta }} \punto g(z)h_{\eta }(z)\,dz,}$

Como en la figura 1, la función de ponderación genera polos (cruces rojas) en el eje imaginario. La integral de contorno recoge el residuo de estos polos, que es equivalente a la suma. Este procedimiento a veces se denomina transformación de Sommerfeld-Watson. ^[5]

Mediante la deformación de las líneas de contorno para encerrar los polos de g ( z ) (la cruz verde en la Fig. 2), la suma se puede lograr formalmente sumando el residuo de g ( z ) h _η ( z ) sobre todos los polos de g ( z ),

${\displaystyle S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{z_{0}\in g(z){\text{ polos}}}\operatorname {Res} g(z_{0})h_{\eta }(z_{0}).}$

Nótese que se produce un signo menos, porque el contorno se deforma para encerrar los polos en el sentido de las agujas del reloj, lo que da como resultado un residuo negativo.

Para producir polos simples en frecuencias de bosones , se puede elegir cualquiera de los dos tipos siguientes de funciones de ponderación de Matsubara ${\displaystyle z=i\omega _ {n}}$

${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{\rm { B}}(-z)=\beta (1+n_{\rm {B}}(z)),}$

${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{\rm {B }}(z),}$

Dependiendo del semiplano en el que se deba controlar la convergencia, controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re  z  < 0), mientras que controla la convergencia en el semiplano derecho (Re  z  > 0). Aquí está la función de distribución de Bose-Einstein . ${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(1)}(z)}$${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(2)}(z)}$${\displaystyle n_{\rm {B}}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}}$

El caso es similar para las frecuencias de fermiones. También hay dos tipos de funciones de ponderación de Matsubara que producen polos simples en${\displaystyle z=i\omega _ {m}}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{\rm {F }}(-z)=\beta (1-n_{\rm {F}}(z)),}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{\rm { F}}(z).}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(1)}(z)}$controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re  z  < 0), mientras que controla la convergencia en el semiplano derecho (Re  z  > 0). Aquí está la función de distribución de Fermi-Dirac .${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(2)}(z)}$${\displaystyle n_{\rm {F}}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}}$

En la aplicación al cálculo de la función de Green, g ( z ) siempre tiene la estructura

${\displaystyle g(z)=G(z)e^{-z\tau },}$

que diverge en el semiplano izquierdo dado 0 <  τ  <  β . Para controlar la convergencia, siempre se elige la función de ponderación del primer tipo . Sin embargo, no es necesario controlar la convergencia si la suma de Matsubara no diverge. En ese caso, cualquier elección de la función de ponderación de Matsubara conducirá a resultados idénticos. ${\displaystyle h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)}$

La siguiente tabla contiene algunas funciones racionales simples g ( z ). El símbolo η  = ±1 es el signo estadístico, +1 para bosones y -1 para fermiones. ${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )}$

[1] Dado que la suma no converge, el resultado puede diferir según la elección de la función de ponderación de Matsubara.

[2] (1 ↔ 2) denota la misma expresión que la anterior pero con los índices 1 y 2 intercambiados.

En este límite , la suma de frecuencias de Matsubara es equivalente a la integración de la frecuencia imaginaria sobre el eje imaginario. ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}.}$

Algunas de las integrales no convergen. Se deben regularizar introduciendo el corte de frecuencia y luego restando la parte divergente ( dependiente de) de la integral antes de tomar el límite de . Por ejemplo, la energía libre se obtiene mediante la integral del logaritmo, ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.}$

es decir, a temperatura cero, la energía libre simplemente se relaciona con la energía interna por debajo del potencial químico. Además, la función de distribución se obtiene mediante la siguiente integral.

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.}$

que muestra el comportamiento de la función escalonada a temperatura cero.

Consideremos una función G ( τ ) definida en el intervalo de tiempo imaginario (0, β ). Puede expresarse en términos de la serie de Fourier,

${\displaystyle G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega \tau },}$

donde la frecuencia solo toma valores discretos espaciados por 2 π / β .

La elección particular de la frecuencia depende de la condición de contorno de la función G ( τ ). En física, G ( τ ) representa la representación temporal imaginaria de la función de Green.

${\displaystyle G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .}$

Satisface la condición de contorno periódica G ( τ + β )= G ( τ ) para un campo de bosones. Mientras que para un campo de fermiones la condición de contorno es antiperiódica G ( τ  +  β ) = − G ( τ ).

Dada la función de Green G ( iω ) en el dominio de la frecuencia, su representación temporal imaginaria G ( τ ) se puede evaluar mediante la suma de frecuencias de Matsubara. Dependiendo de las frecuencias de bosones o fermiones que se van a sumar, el G ( τ ) resultante puede ser diferente. Para distinguir, defina

${\displaystyle G_{\eta }(\tau )={\begin{cases}G_{\rm {B}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{\rm {F}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =-1,\end{cases}}}$

con

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e^{-i\omega _{m}\tau }.}$

Nótese que τ está restringido en el intervalo principal (0, β ). La condición de contorno se puede utilizar para extender G ( τ ) fuera del intervalo principal. Algunos resultados utilizados con frecuencia se deducen de la siguiente tabla.

El tiempo imaginario pequeño juega un papel fundamental aquí. El orden de los operadores cambiará si el tiempo imaginario pequeño cambia de signo.

${\displaystyle \langle \psi \psi ^{*}\rangle =\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{+})\psi ^{*}(0)\rangle =-G_{\eta }(\tau =0^{+})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega 0^{+}}}$

${\displaystyle \langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}}$

La evaluación de la función de distribución se vuelve complicada debido a la discontinuidad de la función de Green G ( τ ) en τ  = 0. Para evaluar la suma

${\displaystyle G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1},}$

Ambas opciones de la función de ponderación son aceptables, pero los resultados son diferentes. Esto se puede entender si alejamos un poco G ( τ ) de τ  = 0, entonces para controlar la convergencia, debemos tomar como función de ponderación para , y para . ${\displaystyle h_{\eta }^{(1)}(z)}$${\displaystyle G(\tau =0^{+})}$${\displaystyle h_{\eta }^{(2)}(z)}$${\displaystyle G(\tau =0^{-})}$

Bosones

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-n_{\rm {B}}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{\rm {B}}(\xi )+1).}$

Fermiones

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=n_{\rm {F}}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{\rm {F}}(\xi )).}$

Bosones

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\beta \xi }),}$

Fermiones

${\displaystyle -{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).}$

Aquí se evalúan los diagramas que se encuentran con frecuencia con la configuración de modo único. Los problemas de modo múltiple se pueden abordar mediante una integral de función espectral. Aquí se muestra una frecuencia de Matsubara fermiónica, mientras que es una frecuencia de Matsubara bosónica. ${\displaystyle \omega _{m}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}={\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )+n_{\rm {B}}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}=-{\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\varepsilon '}}={\frac {1-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)-n_{\rm {F}}(\varepsilon )}{i\omega _{n}-\varepsilon -\varepsilon '}}.}$

La notación general representa la función de distribución de Bose ( η  = +1) o de Fermi ( η  = −1). ${\displaystyle n_{\eta }}$

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\frac {1}{e^{\beta \xi }-\eta }}.}$

_Si es necesario, se utilizan las notaciones específicas nB y nF para indicar las funciones de distribución de Bose y Fermi respectivamente _.

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\begin{cases}n_{\rm {B}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =+1,\\n_{\rm {F}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =-1.\end{cases}}}$

La función de distribución de Bose está relacionada con la función cotangente hiperbólica por

${\displaystyle n_{\rm {B}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\right).}$

La función de distribución de Fermi está relacionada con la función tangente hiperbólica por

${\displaystyle n_{\rm {F}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\right).}$

Ambas funciones de distribución no tienen paridad definida,

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi ).}$

Otra fórmula está en términos de la función ${\displaystyle c_{\eta }}$

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi ).}$

Sin embargo, sus derivados tienen paridad definida.

Las funciones de distribución de Bose y Fermi se transmutan bajo un desplazamiento de la variable por la frecuencia fermiónica,

${\displaystyle n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi ).}$

Sin embargo, el cambio según las frecuencias bosónicas no hace ninguna diferencia.

${\displaystyle n_{\rm {B}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}.}$

En términos de producto:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=-\beta n_{\eta }(\xi )(1+\eta n_{\eta }(\xi )).}$

En el límite de temperatura cero:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\eta \delta (\xi ){\text{ as }}\beta \rightarrow \infty .}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.}$

${\displaystyle n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)=-{\frac {\mathrm {sinh} \beta b}{\mathrm {cosh} \beta a-\eta \,\mathrm {cosh} \beta b}}.}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(b)-n_{\rm {B}}(-b)=\mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(b)-n_{\rm {F}}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=-\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=2n_{\rm {B}}^{\prime }(a)b+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=2n_{\rm {F}}^{\prime }(a)b+\cdots .}$

Definición:

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)}{2b}}.}$

Para el tipo Bose y Fermi:

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).}$

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)={\frac {\sinh \beta b}{2b(\cosh \beta a-\eta \cosh \beta b)}}.}$

Es obvio que es positivo definido. ${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)}$

Para evitar desbordamientos en el cálculo numérico se utilizan las funciones tanh y coth

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta (a-b)}{2}}-\operatorname {coth} {\frac {\beta (a+b)}{2}}\right),}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a+b)}{2}}-\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a-b)}{2}}\right).}$

${\displaystyle c_{\rm {B}}(0,b)=-{\frac {1}{2b}}\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2b}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta a}{2}},}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.}$

Para a = 0:${\displaystyle c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2|b|}}.}$

Para b = 0:${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,0)=\delta (a).}$

En general,

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2|b|}},&{\text{if }}|a|<|b|\\0,&{\text{if }}|a|>|b|\end{cases}}}$

• Tiempo imaginario
• Teoría cuántica de campos térmicos

Agustín Nieto: Evaluación de sumas sobre las frecuencias de Matsubara. arXiv:hep-ph/9311210

Repositorio de Github: MatsubaraSum Un paquete de Mathematica para la suma de frecuencia de Matsubara.

A. Taheridehkordi, S. Curnoe, JPF LeBlanc: Integración algorítmica de Matsubara para modelos tipo Hubbard... arXiv:cond-mat/1808.05188