El principio de Maupertuis

En mecánica clásica , el principio de Maupertuis (llamado así en honor a Pierre Louis Maupertuis , 1698-1759) establece que la trayectoria seguida por un sistema físico es la de menor longitud (con una interpretación adecuada de trayectoria y longitud ). ^{[ 1 ]} Es un caso particular del principio de mínima acción , enunciado de forma más general . Mediante el cálculo de variaciones , se obtiene una formulación de ecuaciones integrales para las ecuaciones de movimiento del sistema.

El principio de Maupertuis establece que el verdadero camino de un sistema descrito por${\displaystyle N}$coordenadas generalizadas${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$entre dos estados específicos${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$es un mínimo o un punto de silla ^{[ 2 ]} de la función de acción abreviada ,

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} ,}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)}$son los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas, definidas por la ecuación $${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$ dónde${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$es la función lagrangiana del sistema. En otras palabras, cualquier perturbación de primer orden de la trayectoria resulta en cambios de (como máximo) segundo orden en${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$. Tenga en cuenta que la acción abreviada${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$es un funcional (es decir, una función de un espacio vectorial a su campo escalar subyacente), que en este caso toma como entrada una función (es decir, las rutas entre los dos estados especificados).

Para muchos sistemas, la energía cinética${\displaystyle T}$es cuadrático en las velocidades generalizadas${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\ \mathbf {M} \ {\dot {\mathbf {q} }}^{\intercal }}$$ aunque el tensor de masa${\displaystyle \mathbf {M} }$puede ser una función compleja de las coordenadas generalizadas${\displaystyle \mathbf {q} }$Para tales sistemas, una relación simple relaciona la energía cinética , los momentos generalizados y las velocidades generalizadas. $${\displaystyle 2T=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}}$$ siempre que la energía potencial${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$no involucra las velocidades generalizadas. Al definir una distancia o métrica normalizada${\displaystyle ds}$en el espacio de coordenadas generalizadas $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \ \mathbf {M} \ d\mathbf {q^{\intercal }} }$$ Se puede reconocer inmediatamente el tensor de masa como un tensor métrico . La energía cinética se puede escribir en forma sin masa. $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}}$$ o, $${\displaystyle 2Tdt={\sqrt {2T}}\ ds.}$$

Por lo tanto, la acción abreviada se puede escribir $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}}$$ ya que la energía cinética${\displaystyle T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}$es igual a la energía total (constante)${\displaystyle E_{\text{total}}}$menos la energía potencial${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$En particular, si la energía potencial es constante, entonces el principio de Jacobi se reduce a minimizar la longitud del camino.${\textstyle s=\int ds}$en el espacio de las coordenadas generalizadas, lo cual es equivalente al principio de mínima curvatura de Hertz .

El principio de Hamilton y el principio de Maupertuis se confunden ocasionalmente entre sí y ambos han sido denominados principio de mínima acción . Se diferencian entre sí en tres aspectos importantes:

• su definición de la acción ...
  El principio de Hamilton utiliza${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt}$, la integral del lagrangiano en el tiempo , varió entre dos tiempos finales fijos.${\displaystyle t_{1}}$,${\displaystyle t_{2}}$y puntos finales${\displaystyle q_{1}}$,${\displaystyle q_{2}}$Por el contrario, el principio de Maupertuis utiliza la integral de acción abreviada sobre las coordenadas generalizadas , que varían a lo largo de todas las trayectorias de energía constante que terminan en${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$.
• la solución que ellos determinen...
  El principio de Hamilton determina la trayectoria.${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$En cambio, el principio de Maupertuis determina la forma de la trayectoria en coordenadas generalizadas, en función del tiempo. Por ejemplo, el principio de Maupertuis determina la forma de la elipse sobre la que se mueve una partícula bajo la influencia de una fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, como la gravedad , pero no describe en sí cómo se mueve la partícula a lo largo de esa trayectoria. (Sin embargo, esta parametrización temporal puede determinarse a partir de la trayectoria misma en cálculos posteriores utilizando la conservación de la energía). Por el contrario, el principio de Hamilton especifica directamente el movimiento a lo largo de la elipse en función del tiempo.
• ...y las limitaciones a la variación.
  El principio de Maupertuis requiere que los dos estados de punto final${\displaystyle q_{1}}$y${\displaystyle q_{2}}$se dé y que la energía se conserve a lo largo de cada trayectoria. Por el contrario, el principio de Hamilton no requiere la conservación de la energía, pero sí requiere que los tiempos del punto final${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$También deben especificarse los estados del punto final.${\displaystyle q_{1}}$y${\displaystyle q_{2}}$.

Maupertuis fue el primero en publicar un principio de acción mínima , como una forma de adaptar el principio de Fermat para ondas a una teoría corpuscular (de partículas) de la luz. ^{[ 3 ] : 96} Pierre de Fermat había explicado la ley de Snell para la refracción de la luz asumiendo que la luz sigue el camino de menor tiempo , no de menor distancia. Esto inquietó a Maupertuis, ya que sentía que el tiempo y la distancia debían estar en igualdad de condiciones: "¿por qué la luz debería preferir el camino de menor tiempo sobre el de menor distancia?" Maupertuis definió su acción como${\textstyle \int v\,ds}$, que debía minimizarse sobre todos los caminos que conectan dos puntos específicos. Aquí${\displaystyle v}$es la velocidad de la luz la teoría corpuscular. Fermat había minimizado${\textstyle \int \,ds/v}$dónde${\displaystyle v}$es la velocidad de la onda; las dos velocidades son recíprocas, por lo que las dos formas son equivalentes.

• Mecánica analítica
• Principio de Hamilton
• Principio de mínima restricción de Gauss (que también describe el principio de mínima curvatura de Hertz ).
• ecuación de Hamilton-Jacobi

• Pierre Louis Maupertuis , Accord de différentes loix de la Nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (texto original en francés de 1744) ; Acuerdo entre diferentes leyes de la Naturaleza que parecían incompatibles (traducción al inglés)
• Leonhard Euler , Methodus inveniendi/Additamentum II (texto latino original de 1744) ; Methodus inveniendi/Apéndice 2 (traducción al inglés)
• Pierre Louis Maupertuis , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (texto original en francés de 1746) ; Derivación de las leyes del movimiento y el equilibrio a partir de un principio metafísico (traducción al inglés)
• Leonhard Euler , Exposé concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (texto original en francés de 1752) ; Investigación de la carta de Leibniz (traducción al inglés)
• König JS "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
• JJ O'Connor y EF Robertson, " La Academia de Berlín y la falsificación ", (2003), en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• CI Gerhardt, (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
• W. Kabitz, (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , II , 632–638.
• LD Landau y EM Lifshitz, (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press, págs.  140-143. ISBN 0-08-021022-8(tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4(de tapa blanda)
• GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlina. 290 páginas, disponible en línea Œuvres complètes volumen 8 en Gallica-Math de la Gallica Bibliothèque nationale de France .
• H. Hertz, (1896) Principios de mecánica , en Miscellaneous Papers , vol. III, Macmillan.
• VV Rumyantsev (2001) [1994], "Principio de mínima curvatura de Hertz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press