Teorema ergódico máximo

El teorema ergódico máximo es un teorema de la teoría ergódica , una disciplina dentro de las matemáticas .

Supongamos que es un espacio de probabilidad , que es una transformación que preserva la medida (posiblemente no invertible) y que . Definir por ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mu ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}=\sup _{N\geq 1}{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^{i}.}$

Entonces el teorema ergódico máximo establece que

${\displaystyle \int _{f^{*}>\lambda }f\,d\mu \geq \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}}$

para cualquier λ ∈ R .

Este teorema se utiliza para demostrar el teorema ergódico punto por punto .

• Keane, Michael; Petersen, Karl (2006), "Demostraciones fáciles y casi simultáneas del teorema ergódico y del teorema ergódico máximo", Dynamics & Stochastics , Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series, vol. 48, págs. 248–251, arXiv : math/0004070 , doi : 10.1214/074921706000000266, ISBN 0-940600-64-1.