Teorema de Maxwell

En teoría de la probabilidad , el teorema de Maxwell (también conocido como teorema de Herschel-Maxwell y derivación de Herschel-Maxwell ) establece que si la distribución de probabilidad de un vector aleatorio en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$no se ve afectado por las rotaciones, y si los componentes son independientes, entonces los componentes están distribuidos de forma idéntica y siguen una distribución normal.

Si la distribución de probabilidad de una variable aleatoria vectorial X = ( X ₁ , ..., X _n ) ^T es la misma que la distribución de GX para cada matriz ortogonal G de n × n y sus componentes son independientes , entonces las componentes X ₁ , ..., X _n tienen una distribución normal con valor esperado 0 y todas tienen la misma varianza . Este teorema es una de las muchas caracterizaciones de la distribución normal.

Las únicas distribuciones de probabilidad invariantes rotacionalmente en R ⁿ que tienen componentes independientes son distribuciones normales multivariadas con valor esperado 0 y varianza σ ² I _n , (donde I _n = la matriz identidad n × n ), para algún número positivo σ ² .

John Herschel demostró el teorema en 1850. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Diez años después, James Clerk Maxwell demostró el teorema en la Proposición IV de su artículo de 1860. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Solo necesitamos demostrar el teorema para el caso bidimensional, ya que luego podemos generalizar el teorema a n dimensiones aplicando secuencialmente el teorema para 2 dimensiones a cada par de coordenadas.

Dado que la rotación de 90 grados conserva la distribución de la articulación ,${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$tener la misma medida de probabilidad : sea${\displaystyle \mu }$. Si${\displaystyle \mu }$Si es una distribución delta de Dirac en cero, entonces es, en particular, una distribución gaussiana degenerada. Supongamos ahora que${\displaystyle \mu }$no es una distribución delta de Dirac en cero.

Según el teorema de descomposición de Lebesgue , podemos descomponer${\displaystyle \mu }$en una suma de una medida regular y una medida atómica :${\displaystyle \mu =\mu _{r}+\mu _{s}}$. Necesitamos demostrar que${\displaystyle \mu _{s}=0}$; procedemos por contradicción . Supongamos${\displaystyle \mu _{s}}$contiene una parte atómica, entonces existe alguna${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle \mu _{s}(\{x\})>0}$. Por independencia de${\displaystyle X_{1},X_{2}}$, la variable condicional${\displaystyle X_{2}|\{X_{1}=x\}}$se distribuye de la misma manera que${\displaystyle X_{2}}$. Suponer${\displaystyle x=0}$, entonces, dado que asumimos${\displaystyle \mu }$no está concentrado en cero,${\displaystyle Pr(X_{2}\neq 0)>0}$y así el rayo doble${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):x_{1}=0,x_{2}\neq 0\}}$tiene una probabilidad distinta de cero. Ahora, por la simetría rotacional de${\displaystyle \mu \times \mu }$, cualquier rotación del rayo doble también tiene la misma probabilidad distinta de cero, y dado que dos rotaciones cualesquiera son disjuntas, su unión tiene una probabilidad infinita, lo cual es una contradicción.

Dejar${\displaystyle \mu }$tienen función de densidad de probabilidad${\displaystyle \rho }$; el problema se reduce a resolver la ecuación funcional.

$${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\rho (x\cos \theta +y\sin \theta )\rho (x\sin \theta -y\cos \theta ).}$$

• Bryc, Wlodzimierz (1995). La distribución normal: caracterizaciones con aplicaciones . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97990-8.
• Feller, William (1966). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol.  II (1.ª  ed.). Wiley. pág.  187.
• Maxwell, James Clerk (1860). "Ilustraciones de la teoría dinámica de los gases". Philosophical Magazine . 4.ª serie. 19 : 390–393 .

• El teorema de Maxwell en un video de 3blue1brown