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Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell en una placa colocada en su estatua en Edimburgo. Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que describ...

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Las ecuaciones de Maxwell en una placa colocada en su estatua en Edimburgo.

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas que describen cómo se generan los campos eléctricos y magnéticos mediante cargas y corrientes eléctricas . Junto con la ley de la fuerza de Lorentz , constituyen la base del electromagnetismo clásico , la óptica clásica y los circuitos eléctricos y magnéticos . Estas ecuaciones proporcionan un modelo matemático para tecnologías eléctricas, ópticas y de radio, como la generación de energía, los motores eléctricos, las comunicaciones inalámbricas , las lentes, el radar, etc.

Las ecuaciones de Maxwell tienen dos variantes principales:

  • Las ecuaciones microscópicas tienen aplicabilidad universal, pero resultan engorrosas para cálculos comunes. Relacionan los campos eléctricos y magnéticos con la carga total y la corriente total, incluyendo las complejas cargas y corrientes presentes en los materiales a escala atómica .
  • Las ecuaciones macroscópicas definen dos nuevos campos auxiliares que describen el comportamiento a gran escala de la materia sin necesidad de considerar cargas a escala atómica ni fenómenos cuánticos como los espines. Sin embargo, su uso requiere parámetros determinados experimentalmente para una descripción fenomenológica de la respuesta electromagnética de los materiales.

El término «ecuaciones de Maxwell» también se utiliza a menudo para formulaciones alternativas equivalentes . Se prefieren las versiones de las ecuaciones de Maxwell basadas en los potenciales escalares eléctricos y magnéticos para resolver explícitamente las ecuaciones como un problema de contorno , en mecánica analítica o para su uso en mecánica cuántica . La formulación covariante (en el espaciotiempo en lugar de en el espacio y el tiempo por separado) hace manifiesta la compatibilidad de las ecuaciones de Maxwell con la relatividad especial . Las ecuaciones de Maxwell en el espaciotiempo curvo , comúnmente utilizadas en física de altas energías y gravitacional , son compatibles con la relatividad general . [ nota 1 ]

Las ecuaciones de Maxwell reciben su nombre del físico y matemático James Clerk Maxwell , quien, entre 1861 y 1862, publicó una versión temprana de las ecuaciones que incluía la ley de la fuerza de Lorentz. La publicación de estas ecuaciones marcó la unificación de una teoría para fenómenos previamente descritos por separado: magnetismo, electricidad, luz y radiación asociada. La formulación moderna de las ecuaciones, en su versión más común, se atribuye a Oliver Heaviside . [ 1 ]

Desde mediados del siglo XX, se ha entendido que las ecuaciones de Maxwell no dan una descripción exacta de los fenómenos electromagnéticos, sino que son, en cambio, un límite clásico de la teoría más precisa de la electrodinámica cuántica .

Resumen

Las dos variantes más utilizadas de las ecuaciones de Maxwell son la forma diferencial microscópica y la macroscópica en unidades del SI .

Versión microscópica en unidades del SI

En forma de ecuaciones diferenciales parciales y en unidades del SI , las ecuaciones microscópicas de Maxwell se escriben como (de arriba abajo: ley de Gauss , ley de Gauss para el magnetismo , ley de Faraday , ley de Ampère-Maxwell )

∇⋅mi=ρε0∇⋅B=0∇×mi=−∂B∂t∇×B=μ0(J+ε0∂mi∂t){\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {E} &=&{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=&\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{array}}}

En estas ecuaciones,mi{\displaystyle \mathbf {E} }es el campo eléctrico,B{\displaystyle \mathbf {B} }el campo magnético,ρ{\displaystyle \rho }la densidad de carga eléctrica total ,J{\displaystyle \mathbf {J} }la densidad de corriente total ,ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}la permitividad del vacío ,μ0{\displaystyle \mu _{0}}la permeabilidad al vacío ,∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot } el operador de divergencia y ∇×{\displaystyle \nabla \times }el operador curl .

Versión macroscópica en unidades del SI

En forma de ecuaciones diferenciales parciales y en unidades del SI , las ecuaciones macroscópicas de Maxwell se escriben como:

∇⋅D=ρF∇⋅B=0∇×mi=−∂B∂t∇×H=JF+∂D∂t{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {D} &=&\rho _ {f}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\end{array}}}

En estas ecuaciones, D{\displaystyle \mathbf {D} }es el campo de desplazamiento eléctrico ,mi{\displaystyle \mathbf {E} }el campo eléctrico ,B{\displaystyle \mathbf {B} }el campo magnético ,H{\displaystyle \mathbf {H} }la intensidad del campo magnético ,ρF{\displaystyle \rho _{f}}la densidad de carga eléctrica libre ,JF{\displaystyle \mathbf {J} _ {f}}la densidad de corriente libre ,∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot } el operador de divergencia y ∇×{\displaystyle \nabla \times }el operador curl .

Historia de las ecuaciones

Descripciones conceptuales

Ley de Gauss

Campo eléctrico de cargas positivas a negativas

La ley de Gauss describe la relación entre un campo eléctrico y las cargas eléctricas : un campo eléctrico apunta alejándose de las cargas positivas y dirigiéndose hacia las negativas, y la salida neta del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada, incluyendo la carga ligada debida a la polarización del material. El coeficiente de esta proporción es la permitividad del vacío .

Ley de Gauss para el magnetismo

Ley de Gauss para el magnetismo : las líneas de campo magnético nunca comienzan ni terminan, sino que forman bucles o se extienden hasta el infinito, como se muestra aquí con el campo magnético debido a un anillo de corriente.

La ley de Gauss para el magnetismo establece que las cargas eléctricas no tienen análogos magnéticos, llamados monopolos magnéticos ; no existen polos magnéticos norte o sur aislados. [ 2 ] En cambio, el campo magnético de un material se atribuye a un dipolo , y el flujo neto del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero. Los dipolos magnéticos pueden representarse como bucles de corriente o pares inseparables de "cargas magnéticas" iguales y opuestas. Precisamente, el flujo magnético total a través de una superficie gaussiana es cero, y el campo magnético es un campo vectorial solenoidal . [ nota 2 ]

Ley de Faraday

Durante una tormenta geomagnética , el plasma del viento solar impacta el campo magnético terrestre, provocando un cambio en dicho campo que varía con el tiempo, induciendo así campos eléctricos en la atmósfera terrestre y la litosfera conductora , los cuales pueden desestabilizar las redes eléctricas . (Sin escala).

La versión de Maxwell-Faraday de la ley de inducción de Faraday describe cómo un campo magnético variable en el tiempo se corresponde con el rotacional negativo de un campo eléctrico . [ 2 ] En forma integral, establece que el trabajo por unidad de carga requerido para mover una carga alrededor de un circuito cerrado es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie encerrada.

La inducción electromagnética es el principio de funcionamiento de muchos generadores eléctricos : por ejemplo, un imán de barra giratorio crea un campo magnético variable y genera un campo eléctrico en un cable cercano.

Ley de Ampère-Maxwell

La memoria de núcleo magnético (1954) es una aplicación de la ley circuital de Ampère . Cada núcleo almacena un bit de datos.

La ley original de Ampère establece que los campos magnéticos están relacionados con la corriente eléctrica . La adición de Maxwell indica que los campos magnéticos también están relacionados con los campos eléctricos variables, a los que Maxwell denominó corriente de desplazamiento . La forma integral establece que las corrientes eléctrica y de desplazamiento están asociadas con un campo magnético proporcional a lo largo de cualquier curva que la encierre.

La modificación de Maxwell a la ley circuital de Ampère es importante porque, de lo contrario, las leyes de Ampère y Gauss tendrían que ajustarse para campos estáticos. [ 3 ] Como consecuencia, predice que un campo magnético giratorio ocurre con un campo eléctrico variable. [ 2 ] [ 4 ] Otra consecuencia es la existencia de ondas electromagnéticas autosostenidas que viajan a través del espacio vacío .

La velocidad calculada para las ondas electromagnéticas, que podía predecirse a partir de experimentos con cargas y corrientes, [ nota 3 ] coincide con la velocidad de la luz ; de hecho, la luz es una forma de radiación electromagnética (al igual que los rayos X , las ondas de radio y otras). Maxwell comprendió la conexión entre las ondas electromagnéticas y la luz en 1861, unificando así las teorías del electromagnetismo y la óptica .

Formulación microscópica en términos de campos eléctricos y magnéticos (en versión de vacío)

En la formulación del campo eléctrico y magnético hay cuatro ecuaciones que determinan los campos para una distribución dada de carga y corriente. Una ley de la naturaleza independiente , la ley de la fuerza de Lorentz , describe cómo actúan los campos eléctrico y magnético sobre partículas cargadas y corrientes. Por convención, una versión de esta ley en las ecuaciones originales de Maxwell ya no se incluye. El formalismo del cálculo vectorial que se presenta a continuación, el trabajo de Oliver Heaviside , [ 5 ] [ 6 ] se ha convertido en estándar. Es invariante rotacionalmente y, por lo tanto, matemáticamente más transparente que las 20 ecuaciones originales de Maxwell en componentes x , y y z . Las formulaciones relativistas son más simétricas e invariantes de Lorentz. Para las mismas ecuaciones expresadas usando cálculo tensorial o formas diferenciales (ver §  Formulaciones alternativas ).

Las formulaciones diferencial e integral son matemáticamente equivalentes; ambas son útiles. La formulación integral relaciona los campos dentro de una región del espacio con los campos en el límite y a menudo se puede usar para simplificar y calcular directamente los campos a partir de distribuciones simétricas de cargas y corrientes. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales son puramente locales y constituyen un punto de partida más natural para calcular los campos en situaciones más complejas (menos simétricas), por ejemplo, mediante el análisis de elementos finitos . [ 7 ]

Clave de la notación

Los símbolos en negrita representan cantidades vectoriales , y los símbolos en cursiva representan cantidades escalares , a menos que se indique lo contrario. Las ecuaciones introducen el campo eléctrico , E , un campo vectorial , y el campo magnético , B , un campo pseudovectorial , cada uno con una dependencia general del tiempo y la ubicación. Las fuentes son

Las constantes universales que aparecen en las ecuaciones (las dos primeras explícitamente solo en la formulación del SI) son:

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales,

ecuaciones integrales

En las ecuaciones integrales,

  • Ω es cualquier volumen con superficie límite cerrada ∂Ω y
  • Σ es cualquier superficie con curva límite cerrada ∂Σ ,

Las ecuaciones son un poco más fáciles de interpretar con superficies y volúmenes independientes del tiempo. Las superficies y los volúmenes independientes del tiempo son "fijos" y no cambian en un intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, dado que la superficie es independiente del tiempo, podemos pasar la derivada al rango de la integral en la ley de Faraday: ddt∬ΣB⋅dS=∬Σ∂B∂t⋅dS,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _ {\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _ {\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,} Las ecuaciones de Maxwell pueden formularse con superficies y volúmenes que posiblemente dependan del tiempo, utilizando la versión diferencial y los teoremas de Gauss y Stokes según corresponda.

  • \oiint∫∂Ω{\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}es una integral de superficie sobre la superficie límite ∂Ω , donde el bucle indica que la superficie está cerrada.
  • ∭Ω{\displaystyle \iiint _ {\Omega }}es una integral de volumen sobre el volumen Ω ,
  • ∮∂Σ{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}es una integral de línea alrededor de la curva límite ∂Σ , donde el bucle indica que la curva está cerrada.
  • ∬Σ{\displaystyle \iint _{\Sigma }}es una integral de superficie sobre la superficie Σ ,
  • La carga eléctrica total Q encerrada en Ω es la integral de volumen sobre Ω de la densidad de carga ρ (véase la sección "formulación macroscópica" a continuación):Q=∭Ωρ dV,{\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}donde d V es el elemento de volumen .
  • El flujo magnético neto Φ B es la integral de superficie del campo magnético B que pasa a través de una superficie fija, Σ :ΦB=∬ΣB⋅dS,{\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}
  • El flujo eléctrico neto Φ E es la integral de superficie del campo eléctrico E que pasa a través de Σ :Φmi=∬Σmi⋅dS,{\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S},}
  • La corriente eléctrica neta I es la integral de superficie de la densidad de corriente eléctrica J que pasa a través de Σ :I=∬ΣJ⋅dS,{\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}donde d S denota el elemento vectorial diferencial del área superficial S , normal a la superficie Σ . (El área vectorial a veces se denota por A en lugar de S , pero esto entra en conflicto con la notación para el potencial vectorial magnético ).

Formulación en el SI

Formulación en el sistema gaussiano

Las definiciones de carga, campo eléctrico y campo magnético pueden alterarse para simplificar el cálculo teórico, absorbiendo factores dimensionales de ε 0 y μ 0 en las unidades (y, por lo tanto, redefiniéndolas). Con un cambio correspondiente en los valores de las cantidades para la ley de fuerza de Lorentz, esto produce la misma física, es decir, trayectorias de partículas cargadas o trabajo realizado por un motor eléctrico. Estas definiciones suelen preferirse en física teórica y de altas energías, donde es natural tomar el campo eléctrico y magnético con las mismas unidades, para simplificar la apariencia del tensor electromagnético : el objeto covariante de Lorentz que unifica el campo eléctrico y magnético contendría entonces componentes con unidad y dimensión uniformes. [ 8 ] : vii Tales definiciones modificadas se utilizan convencionalmente con las unidades gaussianas ( CGS ). Usando estas definiciones, coloquialmente "en unidades gaussianas", [ 9 ] las ecuaciones de Maxwell se convierten en: [ 10 ]

Las ecuaciones se simplifican ligeramente cuando se elige un sistema de cantidades en el que se utiliza la velocidad de la luz, c , para la adimensionalización , de modo que, por ejemplo, los segundos y los segundos luz son intercambiables, y c = 1.

Es posible realizar cambios adicionales absorbiendo factores de 4π . Este proceso, denominado racionalización, afecta si la ley de Coulomb o la ley de Gauss incluyen dicho factor (véanse las unidades de Heaviside-Lorentz , utilizadas principalmente en física de partículas ).

Relación entre formulaciones diferenciales e integrales

La equivalencia de las formulaciones diferenciales e integrales es consecuencia del teorema de la divergencia de Gauss y del teorema de Kelvin-Stokes .

Flujo y divergencia

Volumen Ω y su frontera cerrada ∂Ω , que contienen (respectivamente encierran) una fuente (+) y un sumidero (−) de un campo vectorial F. Aquí, F podría ser el campo E con cargas eléctricas fuente, pero no el campo B , que no tiene cargas magnéticas como se muestra. El vector normal unitario exterior es n .

Según el teorema de divergencia de Gauss (puramente matemático) , el flujo eléctrico a través de la superficie límite ∂Ω se puede reescribir como

\oiint∮∂Ωmi⋅dS=∭Ω∇⋅midV{\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}

La versión integral de la ecuación de Gauss se puede reescribir como ∭Ω(∇⋅mi−ρε0)dV=0{\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0} Dado que Ω es arbitrario (por ejemplo, una pequeña esfera arbitraria con un centro arbitrario), esto se cumple si y solo si el integrando es cero en todas partes. Esta es la formulación en ecuaciones diferenciales de la ecuación de Gauss, salvo una reordenación trivial.

De manera similar, reescribiendo el flujo magnético en la ley de Gauss para el magnetismo en forma integral se obtiene

\oiint∮∂ΩB⋅dS=∭Ω∇⋅BdV=0.{\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}

lo cual se satisface para todo Ω si y solo si∇⋅B=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}en todos lados.

Circulación y rizo

Superficie Σ con frontera cerrada ∂Σ . F podría ser el campo E o B. Nuevamente, n es el vector normal unitario . (El rotacional de un campo vectorial no se parece literalmente a las "circulaciones"; esta es una representación heurística).

Por el teorema de Kelvin-Stokes podemos reescribir las integrales de línea de los campos alrededor de la curva límite cerrada ∂Σ como una integral de la "circulación de los campos" (es decir, sus rotacionales ) sobre una superficie que delimita, es decir ∮∂ΣB⋅dℓ=∬Σ(∇×B)⋅dS,{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,} Por lo tanto, la ley de Ampère-Maxwell , la versión modificada de la ley circuital de Ampère, en forma integral puede reescribirse como ∬Σ(∇×B−μ0(J+ε0∂mi∂t))⋅dS=0.{\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.} Dado que Σ puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo, como un disco arbitrariamente pequeño, orientado y centrado, concluimos que el integrando es cero si y solo si se satisface la ley de Ampère-Maxwell en forma de ecuaciones diferenciales. La equivalencia de la ley de Faraday en forma diferencial e integral se deduce igualmente.

Las integrales de línea y los rotacionales son análogos a las magnitudes de la dinámica de fluidos clásica : la circulación de un fluido es la integral de línea del campo de velocidad del flujo del fluido alrededor de un circuito cerrado, y la vorticidad del fluido es el rotacional del campo de velocidad.

Conservación de carga

La invariancia de la carga puede derivarse como corolario de las ecuaciones de Maxwell. El lado izquierdo de la ley de Ampère-Maxwell tiene divergencia cero debido a la identidad div-rot . Al expandir la divergencia del lado derecho, intercambiar derivadas y aplicar la ley de Gauss, se obtiene: 0=∇⋅(∇×B)=∇⋅(μ0(J+ε0∂mi∂t))=μ0(∇⋅J+ε0∂∂t∇⋅mi)=μ0(∇⋅J+∂ρ∂t){\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _ {0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _ {0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)} es decir, ∂ρ∂t+∇⋅J=0.{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.} Según el teorema de la divergencia de Gauss, esto significa que la tasa de cambio de carga en un volumen fijo es igual a la corriente neta que fluye a través del límite:

ddtQΩ=ddt∭ΩρdV=−{\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}\oiint∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }J⋅dS=−I∂Ω.{\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}

En particular, en un sistema aislado la carga total se conserva.

Ecuaciones del vacío, ondas electromagnéticas y velocidad de la luz.

Este diagrama 3D muestra una onda plana polarizada linealmente que se propaga de izquierda a derecha, definida por E = E 0 sin(− ωt + k ⋅ r ) y B = B 0 sin(− ωt + k ⋅ r ). Los campos oscilantes se detectan en el punto de destello. La longitud de onda horizontal es λ . E 0 ⋅ B 0 = 0 = E 0 ⋅ k = B 0 ⋅ k

En una región sin cargas ( ρ = 0 ) y sin corrientes ( J = 0 ), como en el vacío, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: ∇⋅mi=0,∇×mi+∂B∂t=0,∇⋅B=0,∇×B−μ0ε0∂mi∂t=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}

Tomando el rotacional (∇×) de las ecuaciones del rotacional, y usando el rotacional de la identidad del rotacional obtenemos μ0ε0∂2mi∂t2−∇2mi=0,μ0ε0∂2B∂t2−∇2B=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}

La cantidadμ0ε0{\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}tiene la dimensión (T/L) 2 . Definicióndo=(μ0ε0)−1/2{\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}Las ecuaciones anteriores tienen la forma de las ecuaciones de onda estándar.1do2∂2mi∂t2−∇2mi=0,1do2∂2B∂t2−∇2B=0.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}

Ya durante la vida de Maxwell, se descubrió que los valores conocidos paraε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}yμ0{\displaystyle \mu _{0}}dardo≈2.998×108 EM{\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}, entonces ya se sabía que era la velocidad de la luz en el espacio libre. Esto lo llevó a proponer que la luz y las ondas de radio eran ondas electromagnéticas que se propagaban, ya que se confirmó ampliamente. En el antiguo sistema SI de unidades, los valores deμ0=4π×10−7{\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}ydo=299792458 EM{\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}son constantes definidas, (lo que significa que por definiciónε0=8.8541878...×10−12 F/m{\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}) que definen el amperio y el metro. En el nuevo sistema SI, solo c mantiene su valor definido, y la carga del electrón obtiene un valor definido.

En materiales con permitividad relativa , ε r , y permeabilidad relativa , μ r , la velocidad de fase de la luz se convierte en vpag=1μ0μrε0εr,{\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},} que suele ser [ nota 4 ] menor que c .

Además, E y B son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda, y están en fase . Una onda plana sinusoidal es una solución particular de estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell explican cómo estas ondas pueden propagarse físicamente a través del espacio. El campo magnético variable crea un campo eléctrico variable según la ley de Faraday . A su vez, ese campo eléctrico crea un campo magnético variable mediante la modificación de Maxwell de la ley circuital de Ampère . Este ciclo perpetuo permite que estas ondas, ahora conocidas como radiación electromagnética , se muevan por el espacio a velocidad c .

Formulación macroscópica en términos de campos de desplazamiento y magnetización (en versión de materia)

Las ecuaciones anteriores constituyen la versión microscópica de las ecuaciones de Maxwell, que expresan los campos eléctrico y magnético en función de las cargas y corrientes presentes (posiblemente a nivel atómico). A esta se la denomina a veces forma "general", pero la versión macroscópica que se presenta a continuación es igualmente general; la diferencia radica en cuestiones de contabilidad.

La versión microscópica a veces se denomina "ecuaciones de Maxwell en el vacío": esto se refiere al hecho de que el medio material no está integrado en la estructura de las ecuaciones, sino que aparece solo en los términos de carga y corriente. La versión microscópica fue introducida por Lorentz, quien intentó utilizarla para derivar las propiedades macroscópicas de la materia a granel a partir de sus constituyentes microscópicos. [ 11 ] : 5

Las "ecuaciones macroscópicas de Maxwell", también conocidas como ecuaciones de Maxwell en materia , son más parecidas a las que el propio Maxwell introdujo.

En las ecuaciones macroscópicas, la influencia de la carga ligada Q b y la corriente ligada I b se incorpora al campo de desplazamiento D y al campo magnetizante H , mientras que las ecuaciones dependen únicamente de las cargas libres Q f y las corrientes libres I f . Esto refleja una división de la carga eléctrica total Q y la corriente I (y sus densidades ρ y J ) en partes libres y ligadas: Q=QF+Qb=∭Ω(ρF+ρb)dV=∭ΩρdV,I=IF+Ib=∬Σ(JF+Jb)⋅dS=∬ΣJ⋅dS.{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}

El coste de esta división es que los campos adicionales D y H deben determinarse mediante ecuaciones constitutivas fenomenológicas que relacionen estos campos con el campo eléctrico E y el campo magnético B , junto con la carga ligada y la corriente.

A continuación se ofrece una descripción detallada de las diferencias entre las ecuaciones microscópicas, que tratan sobre la carga total y la corriente, incluidas las contribuciones del material, útiles en el aire/vacío; [ nota 5 ] y las ecuaciones macroscópicas, que tratan sobre la carga libre y la corriente, prácticas para su uso dentro de los materiales.

Carga ligada y corriente

Izquierda: Vista esquemática de cómo un conjunto de dipolos microscópicos produce cargas superficiales opuestas, como se muestra arriba y abajo. Derecha: Cómo un conjunto de bucles de corriente microscópicos se suman para producir un bucle de corriente que circula macroscópicamente. Dentro de los límites, las contribuciones individuales tienden a cancelarse, pero en los límites no se produce dicha cancelación.

Cuando se aplica un campo eléctrico a un material dieléctrico, sus moléculas responden formando dipolos eléctricos microscópicos : sus núcleos atómicos se mueven una pequeña distancia en la dirección del campo, mientras que sus electrones se mueven una pequeña distancia en la dirección opuesta. Esto produce una carga ligada macroscópica en el material, aunque todas las cargas involucradas estén ligadas a moléculas individuales. Por ejemplo, si cada molécula responde de la misma manera, como se muestra en la figura, estos pequeños movimientos de carga se combinan para producir una capa de carga ligada positiva en un lado del material y una capa de carga negativa en el otro. La carga ligada se describe de forma más conveniente en términos de la polarización P del material, su momento dipolar por unidad de volumen. Si P es uniforme, se produce una separación macroscópica de carga solo en las superficies donde P entra y sale del material. Para P no uniforme , también se produce una carga en el interior del material. [ 12 ]

De manera similar, en todos los materiales los átomos constituyentes exhiben momentos magnéticos intrínsecamente ligados al momento angular de sus componentes, especialmente de sus electrones . Esta conexión con el momento angular sugiere la imagen de un conjunto de bucles de corriente microscópicos. Fuera del material, dicho conjunto no difiere de una corriente macroscópica que circula alrededor de su superficie, a pesar de que ninguna carga individual recorre una gran distancia. Estas corrientes ligadas pueden describirse mediante la magnetización M. [ 13 ]

Por lo tanto, las cargas y corrientes ligadas, sumamente complejas y granulares, pueden representarse a escala macroscópica mediante P y M , que promedian estas cargas y corrientes a una escala suficientemente grande como para no percibir la granularidad de los átomos individuales, pero también lo suficientemente pequeña como para que varíen con la ubicación en el material. De este modo, las ecuaciones macroscópicas de Maxwell ignoran muchos detalles a pequeña escala que pueden resultar irrelevantes para comprender los fenómenos a gran escala, al calcular campos que se promedian sobre un volumen adecuado.

Campos auxiliares, polarización y magnetización

Las definiciones de los campos auxiliares son: D(r,t)=ε0mi(r,t)+PAG(r,t),H(r,t)=1μ0B(r,t)−METRO(r,t),{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}} donde P es el campo de polarización y M es el campo de magnetización , que se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corrientes ligadas respectivamente. La densidad de carga ligada macroscópica ρ b y la densidad de corriente ligada J b en términos de polarización P y magnetización M se definen entonces como ρb=−∇⋅PAG,Jb=∇×METRO+∂PAG∂t.{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}

Si definimos la densidad de carga y corriente total, ligada y libre por ρ=ρb+ρF,J=Jb+JF,{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}} y utilizando las relaciones definitorias anteriores para eliminar D y H , las ecuaciones "macroscópicas" de Maxwell reproducen las ecuaciones "microscópicas".

Relaciones constitutivas

Para aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell, es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y el campo eléctrico E , así como entre el campo magnetizante H y el campo magnético B. De forma equivalente, debemos especificar la dependencia de la polarización P (y, por lo tanto, de la carga ligada) y la magnetización M (y, por lo tanto, de la corriente ligada) con respecto al campo eléctrico y magnético aplicados. Las ecuaciones que especifican esta respuesta se denominan relaciones constitutivas . Para materiales reales, las relaciones constitutivas rara vez son simples, salvo de forma aproximada, y suelen determinarse experimentalmente. Véase el artículo principal sobre relaciones constitutivas para una descripción más completa. [ 14 ] : 44–45

Para materiales sin polarización ni magnetización, las relaciones constitutivas son (por definición) [ 8 ] : 2D=ε0mi,H=1μ0B,{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,} donde ε 0 es la permitividad del vacío y μ 0 la permeabilidad del vacío. Dado que no hay carga ligada, la carga total y la carga libre, así como la corriente, son iguales.

Una perspectiva alternativa sobre las ecuaciones microscópicas es que son las ecuaciones macroscópicas junto con la afirmación de que el vacío se comporta como un "material" lineal perfecto sin polarización ni magnetización adicionales. De manera más general, para los materiales lineales las relaciones constitutivas son [ 14 ] : 44–45D=εmi,H=1μB,{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,} donde ε es la permitividad y μ la permeabilidad del material. Para el campo de desplazamiento D, la aproximación lineal suele ser excelente porque, salvo para los campos eléctricos o temperaturas más extremos que se pueden obtener en el laboratorio (láseres pulsados ​​de alta potencia), los campos eléctricos interatómicos de los materiales del orden de 10¹¹ V /m son mucho mayores que el campo externo. Para el campo magnetizanteH{\displaystyle \mathbf {H} }Sin embargo, la aproximación lineal puede fallar en materiales comunes como el hierro, lo que da lugar a fenómenos como la histéresis . Incluso el caso lineal puede presentar diversas complicaciones.

  • Para materiales homogéneos, ε y μ son constantes en todo el material, mientras que para materiales no homogéneos dependen de la ubicación dentro del material (y quizás del tiempo). [ 15 ] : 463
  • Para materiales isótropos, ε y μ son escalares, mientras que para materiales anisótropos (por ejemplo, debido a la estructura cristalina) son tensores . [ 14 ] : 421 [ 15 ] : 463
  • Los materiales son generalmente dispersivos , por lo que ε y μ dependen de la frecuencia de las ondas electromagnéticas incidentes. [ 14 ] : 625 [ 15 ] : 397

De forma aún más general, en el caso de materiales no lineales (véase, por ejemplo, la óptica no lineal ), D y P no son necesariamente proporcionales a E , del mismo modo que H o M no son necesariamente proporcionales a B. En general, D y H dependen tanto de E como de B , de la ubicación y el tiempo, y posiblemente de otras magnitudes físicas.

En las aplicaciones también hay que describir cómo se comportan las corrientes libres y la densidad de carga en términos de E y B, posiblemente acopladas a otras magnitudes físicas como la presión, la masa, la densidad numérica y la velocidad de las partículas portadoras de carga. Por ejemplo, las ecuaciones originales dadas por Maxwell (véase Historia de las ecuaciones de Maxwell ) incluían la ley de Ohm en la forma JF=σmi.{\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}

Formulaciones alternativas

A continuación se presentan algunos de los diversos formalismos matemáticos de las ecuaciones de Maxwell, con columnas que separan las dos ecuaciones homogéneas de las dos no homogéneas. Cada formulación tiene versiones expresadas directamente en términos de los campos eléctrico y magnético, e indirectamente en términos del potencial eléctrico φ y el potencial vectorial A. Los potenciales se introdujeron como una forma conveniente de resolver las ecuaciones homogéneas, pero se creía que toda la física observable estaba contenida en los campos eléctrico y magnético (o, relativísticamente, en el tensor de Faraday). Sin embargo, los potenciales desempeñan un papel central en la mecánica cuántica y actúan cuánticamente con consecuencias observables incluso cuando los campos eléctrico y magnético se anulan ( efecto Aharonov-Bohm ).

Cada tabla describe un formalismo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles sobre cada formulación.

Las formulaciones directas del espaciotiempo evidencian que las ecuaciones de Maxwell son relativísticamente invariantes , donde el espacio y el tiempo se tratan en igualdad de condiciones. Debido a esta simetría, los campos eléctrico y magnético se tratan en igualdad de condiciones y se reconocen como componentes del tensor de Faraday . Esto reduce las cuatro ecuaciones de Maxwell a dos, lo que simplifica las ecuaciones, aunque ya no podemos usar la formulación vectorial habitual. Las ecuaciones de Maxwell en formulaciones que no tratan el espacio y el tiempo de forma manifiestamente igual poseen la invariancia de Lorentz como una simetría oculta. Esta fue una importante fuente de inspiración para el desarrollo de la teoría de la relatividad. De hecho, incluso la formulación que trata el espacio y el tiempo por separado no es una aproximación no relativista y describe la misma física simplemente cambiando el nombre de las variables. Por esta razón, las ecuaciones relativistas invariantes también se denominan habitualmente ecuaciones de Maxwell.

Cada tabla a continuación describe un formalismo.

  • En la formulación del cálculo tensorial, el tensor electromagnético F αβ es un tensor covariante antisimétrico de orden 2; el cuadripotencial , A α , es un vector covariante; la corriente, J α , es un vector; los corchetes, [ ] , denotan la antisimetrización de los índices ; ∂ α es la derivada parcial con respecto a la coordenada, x α . En el espacio de Minkowski las coordenadas se eligen con respecto a un marco inercial ; ( x α ) = ( ct , x , y , z )    , de modo que el tensor métrico utilizado para subir y bajar índices es η αβ = diag(1,  −1,  −1,  −1) . El operador d'Alembert en el espacio de Minkowski es ◻ = ∂ α ∂ α como en la formulación vectorial. En los espaciotiempos generales, el sistema de coordenadas x α es arbitrario, la derivada covariante ∇ α , el tensor de Ricci , R αβ y la elevación y descenso de índices se definen mediante la métrica lorentziana, g αβ y el operador de d'Alembert se define como ◻ = ∇ α ∇ α . La restricción topológica es que el segundo grupo de cohomología real del espacio se anula (véase la formulación de la forma diferencial para una explicación). Esto se viola para el espacio de Minkowski con una línea eliminada, que puede modelar un espaciotiempo (plano) con un monopolo puntual en el complemento de la línea.
  • En la formulación de forma diferencial en tiempos espacio-temporales arbitrarios, F = ⁠ 1 / 2 ⁠ F αβ ‍ d x α ∧ d x β es el tensor electromagnético considerado como una 2-forma, A = A α d x α es la 1-forma potencial,J=−Jα⋆dincógnitaα{\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}es la 3-forma actual, d es la derivada exterior y⋆{\displaystyle {\star }}es la estrella de Hodge en formas definidas (salvo su orientación, es decir su signo) por la métrica lorentziana del espaciotiempo. En el caso especial de 2-formas como F , la estrella de Hodge⋆{\displaystyle {\star }}depende del tensor métrico solo para su escala local . Esto significa que, tal como se formulan, las ecuaciones de campo de la forma diferencial son conformemente invariantes , pero la condición de calibre de Lorenz rompe la invariancia conforme. El operador◻=(−⋆d⋆d−d⋆d⋆){\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}es el operador de d'Alembert-Laplace-Beltrami sobre 1-formas en un espaciotiempo lorentziano arbitrario . La condición topológica es, de nuevo, que el segundo grupo de cohomología real sea "trivial" (lo que significa que su forma se deduce de una definición). Por el isomorfismo con la segunda cohomología de de Rham, esta condición implica que toda 2-forma cerrada es exacta.

Otros formalismos incluyen la formulación de álgebra geométrica y una representación matricial de las ecuaciones de Maxwell . Históricamente, se utilizó una formulación cuaterniónica [ 16 ] [ 17 ] .

Soluciones

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan los campos eléctricos y magnéticos entre sí, así como las cargas y corrientes eléctricas. A menudo, las cargas y corrientes dependen de los campos eléctricos y magnéticos mediante la ecuación de la fuerza de Lorentz y las relaciones constitutivas . Todo esto conforma un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales acopladas, cuya resolución suele ser muy compleja, ya que sus soluciones abarcan todos los fenómenos del electromagnetismo clásico . A continuación, se presentan algunas consideraciones generales.

Como en cualquier ecuación diferencial, las condiciones de contorno [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] y las condiciones iniciales [ 21 ] son ​​necesarias para una solución única . Por ejemplo, incluso sin cargas ni corrientes en ningún punto del espacio-tiempo, existen soluciones obvias para las cuales E y B son cero o constantes, pero también hay soluciones no triviales correspondientes a ondas electromagnéticas. En algunos casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en todo el espacio y las condiciones de contorno se dan como límites asintóticos en el infinito. [ 22 ] En otros casos, las ecuaciones de Maxwell se resuelven en una región finita del espacio, con condiciones apropiadas en el límite de esa región, por ejemplo, un límite absorbente artificial que representa el resto del universo, [ 23 ] [ 24 ] o condiciones de contorno periódicas , o paredes que aíslan una pequeña región del mundo exterior (como con una guía de ondas o un resonador de cavidad ). [ 25 ]

Las ecuaciones de Jefimenko (o los potenciales de Liénard-Wiechert , estrechamente relacionados ) constituyen la solución explícita de las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctricos y magnéticos generados por cualquier distribución de cargas y corrientes. Estas ecuaciones asumen condiciones iniciales específicas para obtener la denominada "solución retardada", donde los únicos campos presentes son los generados por las cargas. Sin embargo, las ecuaciones de Jefimenko resultan poco útiles cuando las cargas y las corrientes se ven afectadas por los campos que ellas mismas crean.

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para calcular soluciones aproximadas de las ecuaciones de Maxwell cuando no es posible obtener soluciones exactas. Estos incluyen el método de elementos finitos y el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo . [ 18 ] [ 20 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] Para más detalles, véase Electromagnetismo computacional .

Sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell parecen sobredeterminadas , ya que involucran seis incógnitas (las tres componentes de E y B ) pero ocho ecuaciones (una para cada una de las dos leyes de Gauss, tres componentes vectoriales para cada una de las leyes circuitales de Faraday y Ampère). (Las corrientes y las cargas no son incógnitas, ya que se pueden especificar libremente sujetas a la conservación de la carga ). Esto está relacionado con cierto tipo limitado de redundancia en las ecuaciones de Maxwell: se puede demostrar que cualquier sistema que satisfaga la ley de Faraday y la ley circuital de Ampère satisface automáticamente también las dos leyes de Gauss, siempre que la condición inicial del sistema lo haga, y suponiendo la conservación de la carga y la no existencia de monopolos magnéticos. [ 29 ] [ 30 ] Esta explicación fue introducida por primera vez por Julius Adams Stratton en 1941. [ 31 ]

Si bien es posible ignorar las dos leyes de Gauss en un algoritmo numérico (aparte de las condiciones iniciales), la precisión imperfecta de los cálculos puede provocar violaciones cada vez mayores de dichas leyes. Al introducir variables ficticias que caracterizan estas violaciones, las cuatro ecuaciones dejan de estar sobredeterminadas. La formulación resultante puede conducir a algoritmos más precisos que tengan en cuenta las cuatro leyes. [ 32 ]

Ambas identidades∇⋅∇×B≡0,∇⋅∇×mi≡0{\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}, que reducen ocho ecuaciones a seis independientes, son la verdadera razón de la sobredeterminación. [ 33 ] [ 34 ]

De forma equivalente, la sobredeterminación puede considerarse como una implicación de la conservación de la carga eléctrica y magnética, ya que son necesarias en la derivación descrita anteriormente, pero están implícitas en las dos leyes de Gauss.

Para ecuaciones algebraicas lineales, se pueden establecer reglas convenientes para reescribir las ecuaciones y las incógnitas. Las ecuaciones pueden ser linealmente dependientes. Sin embargo, en ecuaciones diferenciales, y especialmente en ecuaciones diferenciales parciales (EDP), se necesitan condiciones de contorno apropiadas, que dependen de las ecuaciones de maneras no tan obvias. Más aún, si se reescriben en términos de potencial vectorial y escalar, las ecuaciones quedan subdeterminadas debido a la fijación de calibre .

Las ecuaciones de Maxwell como límite clásico de la electrodinámica cuántica.

Las ecuaciones de Maxwell y la ley de la fuerza de Lorentz (junto con el resto del electromagnetismo clásico) explican y predicen con extraordinaria eficacia diversos fenómenos. Sin embargo, no tienen en cuenta los efectos cuánticos, por lo que su ámbito de aplicación es limitado. Las ecuaciones de Maxwell se consideran el límite clásico de la electrodinámica cuántica (QED).

Algunos fenómenos electromagnéticos observados no pueden explicarse con las ecuaciones de Maxwell si la fuente de los campos electromagnéticos son las distribuciones clásicas de carga y corriente. Esto incluye la dispersión fotón-fotón y muchos otros fenómenos relacionados con fotones o fotones virtuales , la " luz no clásica " y el entrelazamiento cuántico de campos electromagnéticos (véase Óptica cuántica ). Por ejemplo , la criptografía cuántica no puede describirse mediante la teoría de Maxwell, ni siquiera de forma aproximada. La naturaleza aproximada de las ecuaciones de Maxwell se hace cada vez más evidente al adentrarse en el régimen de campos extremadamente intensos (véase Lagrangiano de Euler-Heisenberg ) o a distancias extremadamente pequeñas.

Finalmente, las ecuaciones de Maxwell no pueden explicar ningún fenómeno que involucre fotones individuales interactuando con materia cuántica, como el efecto fotoeléctrico , la ley de Planck , la ley de Duane-Hunt y los detectores de luz de un solo fotón . Sin embargo, muchos de estos fenómenos pueden explicarse mediante una teoría intermedia de la materia cuántica acoplada a un campo electromagnético clásico, ya sea como campo externo o con el valor esperado de la corriente y la densidad de carga en el lado derecho de las ecuaciones de Maxwell. Esto se conoce como teoría semiclasica o electrodinámica cuántica de campo propio y fue descubierta inicialmente por de Broglie y Schrödinger y posteriormente desarrollada por E. T. Jaynes y A. O. Barut.

Variaciones

Las variantes populares de las ecuaciones de Maxwell como teoría clásica de los campos electromagnéticos son relativamente escasas porque las ecuaciones estándar han resistido el paso del tiempo de forma extraordinaria.

monopolos magnéticos

Las ecuaciones de Maxwell postulan que existe carga eléctrica , pero no carga magnética (también llamada monopolos magnéticos ), en el universo. De hecho, la carga magnética nunca se ha observado, a pesar de las extensas búsquedas [ nota 6 ] , y podría no existir. Si existiera, tanto la ley de Gauss para el magnetismo como la ley de Faraday tendrían que modificarse, y las cuatro ecuaciones resultantes serían completamente simétricas bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos. [ 8 ] : 273–275

Véase también

Notas explicativas

  1. ↑ Sin embargo, en la relatividad general, deben entrar, a través de su tensor de energía-impulso , en las ecuaciones de campo de Einstein que incluyen la curvatura del espaciotiempo.
  2. ↑ La ausencia de sumideros/fuentes del campo no implica que las líneas de campo deban estar cerradas o escapar al infinito. También pueden enrollarse indefinidamente, sin autointersecciones. Además, alrededor de puntos donde el campo es cero (que no pueden ser intersectados por líneas de campo, porque su dirección no estaría definida), puede haber el comienzo simultáneo de algunas líneas y el final de otras. Esto sucede, por ejemplo, en el medio entre dos imanes cilíndricos idénticos, cuyos polos norte se enfrentan. En el medio entre esos imanes, el campo es cero y las líneas de campo axiales que provienen de los imanes terminan. Al mismo tiempo, un número infinito de líneas divergentes emanan radialmente desde este punto. La presencia simultánea de líneas que terminan y comienzan alrededor del punto preserva el carácter libre de divergencia del campo. Para una discusión detallada de las líneas de campo no cerradas, véase L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines" , IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.
  3. ↑ La cantidad que ahora llamaríamos ( ε 0 μ 0 ) −1/2 , con unidades de velocidad, fue medida directamente antes de las ecuaciones de Maxwell, en un experimento de 1855 realizado por Wilhelm Eduard Weber y Rudolf Kohlrausch . Cargaron una botella de Leyden (un tipo de condensador ) y midieron la fuerza electrostática asociada al potencial; luego, la descargaron mientras medían la fuerza magnética de la corriente en el cable de descarga. Su resultado fue3,107 × 10⁸ m /s  , notablemente cercana a la velocidad de la luz. Véase Joseph F. Keithley, The story of electrical and magnetic measurements: from 500  B.C. to the 1940s , pág.  115 .
  4. ↑ Hay casos ( dispersión anómala ) donde la velocidad de fase puede exceder c , pero la "velocidad de la señal" seguirá siendo ≤ c.
  5. ↑ En algunos libros, por ejemplo, en Física Teórica Básica de U. Krey y A. Owen (Springer 2007),se utiliza el término carga efectiva en lugar de carga total , mientras que la carga libre simplemente se denomina carga .
  6. ↑ Véase monopolo magnético para una discusión sobre búsquedas de monopolos. Recientemente, los científicos han descubierto que algunos tipos de materia condensada, incluyendo hielo de espín y aislantes topológicos , muestran un comportamiento emergente que se asemeja a los monopolos magnéticos. (Véase sciencemag.org y nature.com ). Aunque estos fueron descritos en la prensa popular como el tan esperado descubrimiento de monopolos magnéticos, solo están relacionados superficialmente. Un monopolo magnético "verdadero" es algo donde ∇ ⋅ B ≠ 0 , mientras que en estos sistemas de materia condensada, ∇ ⋅ B = 0 mientras que solo ∇ ⋅ H ≠ 0 .

Referencias

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Lecturas adicionales

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Publicaciones históricas

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  • James Clerk Maxwell , « Una teoría dinámica del campo electromagnético », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459-512 (1865). (Este artículo acompañó una presentación que Maxwell realizó ante la Royal Society el 8 de diciembre de 1864).
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    • Maxwell, JC, "Tratado sobre electricidad y magnetismo" – Volumen 2 – 1873  – Colección Posner Memorial  – Universidad Carnegie Mellon.
Desarrollos previos a la teoría de la relatividad

Tratamientos modernos

  • Electromagnetismo (cap. 11) , B. Crowell, Fullerton College
  • Ciclo de conferencias: Relatividad y electromagnetismo , R. Fitzpatrick, Universidad de Texas en Austin
  • Ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell en el Proyecto PHYSNET .
  • Ciclo de videoconferencias del MIT (36 conferencias de 50 minutos) (en formato .mp4) – Electricidad y magnetismo impartido por el profesor Walter Lewin .

Otro

  • Silagadze, ZK (2002). "Derivación de Feynman de ecuaciones de Maxwell y dimensiones adicionales". Annales de la Fundación Louis de Broglie . 27 : 241–256 . arXiv : hep-ph/0106235 .
  • Hitos de la naturaleza: Fotones  – Hito 2 (1861) Ecuaciones de Maxwell
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