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Articulo de referencia

lente de Luneburgo

Sección transversal de la lente estándar de Luneburg, con sombreado azul proporcional al índice de refracción. Una lente de Luneburgo (del alemán original Lüneburg -Linse ) es u...

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Un círculo, sombreado de azul celeste en el centro y que se difumina hacia el blanco en el borde. Un haz de líneas rojas paralelas entra desde la parte superior derecha y converge en un punto en el borde opuesto del círculo. Otro haz hace lo mismo desde la parte superior izquierda.
Sección transversal de la lente estándar de Luneburg, con sombreado azul proporcional al índice de refracción.

Una lente de Luneburgo (del alemán original Lüneburg -Linse ) es una lente de índice de refracción gradual con simetría esférica . El índice de refracción n de una lente de Luneburgo típica disminuye radialmente desde el centro hacia la superficie exterior. Se pueden fabricar para su uso con radiación electromagnética, desde luz visible hasta ondas de radio .

Para ciertos perfiles de índice, la lente formará imágenes geométricas perfectas de dos esferas concéntricas dadas superpuestas. Existe un número infinito de perfiles de índice de refracción que pueden producir este efecto. La solución más simple fue propuesta por Rudolf Luneburg en 1944. [ 1 ] La solución de Luneburg para el índice de refracción crea dos focos conjugados fuera de la lente. La solución tiene una forma simple y explícita si un punto focal se encuentra en el infinito y el otro en la superficie opuesta de la lente. Posteriormente, J. Brown y A. S. Gutman propusieron soluciones que generan un punto focal interno y un punto focal externo. [ 2 ] [ 3 ] Estas soluciones no son únicas; el conjunto de soluciones se define mediante un conjunto de integrales definidas que deben evaluarse numéricamente. [ 4 ]

Diseños

La solución de Luneburgo

Simulación numérica de una lente de Luneburg iluminada por una fuente puntual en diferentes posiciones.
Una lente de Luneburg convierte una fuente puntual en un haz colimado cuando la fuente se coloca en su borde.

Cada punto en la superficie de una lente de Luneburg ideal es el punto focal para la radiación paralela incidente en el lado opuesto. Idealmente, la constante dieléctricaϵr{\displaystyle \epsilon _{r}}del material que compone la lente disminuye de 2 en su centro a 1 en su superficie (o equivalentemente, el índice de refracciónnorte{\displaystyle n}cae de2{\displaystyle {\sqrt {2}}}a 1), según

norte=ϵr=2−(rR)2,{\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\sqrt {2-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}

dóndeR{\displaystyle R}es el radio de la lente. Debido a que el índice de refracción en la superficie es el mismo que el del medio circundante, no se produce reflexión en la superficie. Dentro de la lente, las trayectorias de los rayos son arcos de elipses .

Lente ojo de pez de Maxwell

Un círculo, sombreado en azul celeste en el centro y que se difumina en blanco hacia el borde. Un conjunto de curvas rojas emana de un punto de la circunferencia y converge de nuevo en un punto del borde opuesto del círculo. Otro conjunto hace lo mismo desde la esquina superior izquierda.
Sección transversal de la lente ojo de pez de Maxwell, donde el sombreado azul representa un índice de refracción creciente.

La lente ojo de pez de Maxwell es también un ejemplo de la lente de Luneburg generalizada. La lente ojo de pez, que fue descrita completamente por primera vez por Maxwell en 1854 [ 5 ] (y por lo tanto es anterior a la solución de Luneburg), tiene un índice de refracción que varía según

norte(r)=ϵr=norte01+(rR)2,{\displaystyle n(r)={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\frac {n_{0}}{1+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}

dóndenorte0{\displaystyle n_{0}}es el índice de refracción en el centro de la lente yR{\displaystyle R}es el radio de la superficie esférica de la lente. [ 6 ] El índice de refracción en la superficie de la lente esnorte0/2{\displaystyle n_{0}/2}La lente proyecta cada punto de la superficie esférica sobre el punto opuesto de la misma superficie. Dentro de la lente, las trayectorias de los rayos son arcos de círculo.

Publicación y atribución

Las propiedades de esta lente se describen en uno de varios problemas o acertijos del Cambridge and Dublin Mathematical Journal de 1853. [ 7 ] El desafío consiste en hallar el índice de refracción en función del radio, dado que un rayo describe una trayectoria circular, y además demostrar las propiedades de enfoque de la lente. La solución se encuentra en la edición de 1854 de la misma revista. [ 5 ] Los problemas y soluciones se publicaron originalmente de forma anónima, pero la solución de este problema (y de otro) se incluyó en The Scientific Papers of James Clerk Maxwell de Niven , [ 8 ] que se publicó 11 años después de la muerte de Maxwell.

Aplicaciones

En la práctica, las lentes de Luneburg suelen ser estructuras estratificadas de capas concéntricas discretas, cada una con un índice de refracción diferente. Estas capas forman un perfil de índice de refracción escalonado que difiere ligeramente de la solución de Luneburg. Este tipo de lente se emplea habitualmente en frecuencias de microondas , especialmente para la construcción de antenas de microondas eficientes y patrones de calibración de radar . También se utilizan análogos cilíndricos de la lente de Luneburg para colimar la luz de diodos láser .

Reflector de radar

Reflectores de Luneburg (la protuberancia marcada) en un F-35

Se puede fabricar un reflector de radar a partir de una lente de Luneburgo metalizando parte de su superficie. La radiación de un transmisor de radar distante se enfoca en la parte inferior de la metalización, en el lado opuesto de la lente; allí se refleja y se enfoca de nuevo sobre la estación de radar. Una dificultad de este sistema es que las regiones metalizadas bloquean la entrada o salida de radiación en esa parte de la lente, mientras que las regiones no metalizadas generan un punto ciego en el lado opuesto.

En ocasiones, se instalan reflectores de radar desmontables tipo lente de Luneburg en aeronaves militares para hacer visibles los aviones furtivos durante las operaciones de entrenamiento o para ocultar su verdadera firma de radar . A diferencia de otros tipos de reflectores de radar, su forma no afecta la maniobrabilidad de la aeronave. [ 9 ] [ 10 ]

Antena de microondas

Radar 3D tipo 984 a bordo del HMS Victorious  , 1961, con lente de Luneburgo.

En los sistemas modernos de ondas milimétricas y microondas , a menudo se requiere equipo especializado para antenas de microondas . Se puede diseñar una antena de lente de Luneburg a medida para satisfacer requisitos específicos, incluyendo diferentes tamaños, alimentadores y frecuencias de operación. Una lente de Luneburg puede utilizarse como base para una antena de radio de alta ganancia.

Una antena de lente de Luneburg es comparable a una antena parabólica , pero utiliza la lente en lugar de un reflector parabólico como elemento principal de enfoque. Al igual que con la antena parabólica, la alimentación al receptor o desde el transmisor se coloca en el foco, y esta alimentación suele consistir en una antena de bocina . El centro de fase de la bocina de alimentación debe coincidir con el punto de enfoque, pero dado que el centro de fase se encuentra invariablemente algo dentro de la boca de la bocina, no puede colocarse justo contra la superficie de la lente. Por consiguiente, es necesario utilizar una variante de lente de Luneburg que enfoque algo más allá de su superficie, [ 11 ] en lugar de la lente clásica con el foco situado en la superficie.

Una antena de lente de Luneburg ofrece varias ventajas sobre una antena parabólica . Gracias a la simetría esférica de la lente, la antena se puede orientar moviendo el alimentador alrededor de la lente, sin necesidad de rotar toda la antena. Además, debido a la simetría esférica, una sola lente puede utilizarse con varios alimentadores apuntando en direcciones muy diferentes. En cambio, si se utilizan varios alimentadores con un reflector parabólico, todos deben estar dentro de un pequeño ángulo del eje óptico para evitar el coma (una forma de desenfoque). Aparte de los sistemas offset , las antenas parabólicas sufren de que el alimentador y su estructura de soporte obstruyan parcialmente el elemento principal ( bloqueo de apertura ); al igual que otros sistemas refractores, la antena de lente de Luneburg evita este problema.

Una variante de la antena de lente de Luneburg es la antena de lente de Luneburg hemisférica o antena reflectora de Luneburg . Esta utiliza solo un hemisferio de una lente de Luneburg, con la superficie de corte de la esfera apoyada sobre un plano de tierra metálico reflectante . Esta disposición reduce a la mitad el peso de la lente, y el plano de tierra proporciona un soporte práctico. Sin embargo, la alimentación obstruye parcialmente la lente cuando el ángulo de incidencia sobre el reflector es inferior a unos 45°.

Desde 2015, el operador de redes inalámbricas estadounidense AT&T ha utilizado antenas de lente de Luneberg llamadas "antenas de ojo gigante" para aumentar la capacidad de la red celular en eventos donde se reúnen grandes multitudes de personas. [ 12 ]

Trayectoria de un rayo dentro de la lente

Para cualquier lente con simetría esférica, cada rayo se encuentra completamente en un plano que pasa por el centro de la lente. La dirección inicial del rayo define una línea que, junto con el centro de la lente, identifica un plano que la biseca. Al ser un plano de simetría de la lente, el gradiente del índice de refracción no tiene componente perpendicular a este plano que provoque que el rayo se desvíe hacia un lado u otro. En este plano, la simetría circular del sistema hace conveniente utilizar coordenadas polares.(r,θ){\displaystyle (r,\theta )}para describir la trayectoria del rayo.

Dados dos puntos cualesquiera de un rayo (como el punto de entrada y el de salida de la lente), el principio de Fermat afirma que la trayectoria que sigue el rayo entre ellos es la que puede recorrer en el menor tiempo posible. Dado que la velocidad de la luz en cualquier punto de la lente es inversamente proporcional al índice de refracción, y por Pitágoras , el tiempo de tránsito entre dos puntos(r1,θ1){\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}y(r2,θ2){\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}es

T=∫(r1,θ1)(r2,θ2)norte(r)do(rdθ)2+dr2=1do∫θ1θ2norte(r)r2+(drdθ)2dθ,{\displaystyle T=\int _{(r_{1},\theta _{1})}^{(r_{2},\theta _{2})}{\frac {n(r)}{c}}{\sqrt {(r\,d\theta )^{2}+dr^{2}}}={\frac {1}{c}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}n(r){\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta ,}

dóndedo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz en el vacío. Minimizar estoT{\displaystyle T}produce una ecuación diferencial de segundo orden que determina la dependencia der{\displaystyle r}enθ{\displaystyle \theta }a lo largo de la trayectoria del rayo. Este tipo de problema de minimización ha sido ampliamente estudiado en mecánica lagrangiana , y existe una solución ya hecha en forma de la identidad de Beltrami , que proporciona inmediatamente la primera integral de esta ecuación de segundo orden. SustituyendoL(r,r′)=norte(r)r′2+r2{\displaystyle L(r,r')=n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}(dónder′{\displaystyle r'}representadrdθ{\displaystyle {\tfrac {dr}{d\theta }}}), en esta identidad da

norte(r)r′2+r2−norte(r)r′2r′2+r2=h,{\displaystyle n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}-n(r){\frac {r'^{2}}{\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}=h,}

dóndeh{\displaystyle h}es una constante de integración . Esta ecuación diferencial de primer orden es separable , es decir, se puede reordenar de manera quer{\displaystyle r}aparece solo en un lado yθ{\displaystyle \theta }solamente en el otro: [ 1 ]

dθ=hr(norte(r))2r2−h2dr.{\displaystyle d\theta ={\frac {h}{r{\sqrt {{\big (}n(r){\big )}^{2}r^{2}-h^{2}}}}}\,dr.}

El parámetroh{\displaystyle h}es una constante para cualquier rayo dado, pero difiere entre rayos que pasan a diferentes distancias del centro de la lente. Para los rayos que pasan por el centro, es cero. En algunos casos especiales, como para el ojo de pez de Maxwell, esta ecuación de primer orden se puede integrar aún más para dar una fórmula paraθ{\displaystyle \theta }como función der{\displaystyle r}En general, proporciona las tasas relativas de cambio deθ{\displaystyle \theta }yr{\displaystyle r}, que puede integrarse numéricamente para seguir la trayectoria del rayo a través de la lente.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Luneburg, RK (1944). Teoría matemática de la óptica . Providence, Rhode Island: Brown University. pp. 189–213 . 
  2. ↑ Brown, J. (1953). Ingeniero inalámbrico . 30 : 250.{{cite journal}}: Falta o está vacío |title=( ayuda )
  3. ↑ Gutman, AS (1954). "Lente de Luneberg modificada". J. Appl. Phys . 25 (7): 855– 859. Bibcode : 1954JAP....25..855G . doi : 10.1063/1.1721757 .
  4. ↑ Morgan, SP (1958). "Solución general del problema de la lente de Luneburg". J. Appl. Phys . 29 (9): 1358– 1368. Bibcode : 1958JAP....29.1358M . doi : 10.1063/1.1723441 . S2CID 119949981 . 
  5. 1 2 "Soluciones de problemas (prob. 3, vol. VIII, pág. 188)" . The Cambridge and Dublin Mathematical Journal . 9. Macmillan: 9–11 . 1854.
  6. ↑ Badri, S Hadi y Gilarlue, MM (2019). "Lente ojo de pez de Maxwell como acoplador de potencia eficiente entre guías de onda de cristal fotónico disímiles" . Optik . 185. Elsevier: 566–570 . arXiv : 1904.01242 . Bibcode : 2019Optik.185..566B . doi : 10.1016/j.ijleo.2019.03.163 . S2CID 91184610 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  7. ↑ "Problemas (3)" . The Cambridge and Dublin Mathematical Journal . 8. Macmillan: 188. 1853.
  8. ↑ Niven, ed. (1890). The Scientific Papers of James Clerk Maxwell . Nueva York: Dover Publications. pág. 76. 
  9. ↑ "Mirando a través de una lente de Luneburgo" . www.eahison.com . Foshan Yuehisense Communication Co., Ltd. 8 de agosto de 2019. Archivado del original el 27 de septiembre de 2021. Consultado el 5 de abril de 2021 .
  10. ↑ Lockie, Alex (5 de mayo de 2017). «Esta extraña modificación del F-35 anula su capacidad de sigilo cerca de las defensas rusas, y hay una buena razón para ello» . Business Insider . Archivado del original el 25 de diciembre de 2023.
  11. ↑ Lo, YT ; Lee, SW (1993). Manual de antenas: Teoría de antenas . Springer. pág. 40. ISBN  9780442015930.
  12. ↑ Solomon, Dan (17 de marzo de 2015). "AT&T llevó un ojo gigante a SXSW para duplicar la capacidad celular" . Fast Company . Recuperado el 28 de diciembre de 2025 .
  • Animación de la propagación a través de una lente de Luneburg (antena dieléctrica) de YouTube
  • Animación de una lente ojo de pez de Maxwell de YouTube
  • Animación de una lente ojo de pez de Maxwell a media altura (antena dieléctrica) de YouTube