Integral de McShane

Dado un intervalo cerrado [ a , b ] de la recta real , una partición etiquetada libre${\displaystyle P}$de${\displaystyle [a,b]}$es un conjunto

${\displaystyle \{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):1\leq i\leq n\}}$

dónde

${\displaystyle a=a_{0}<a_{1}<\dots <a_{n}=b}$

y cada etiqueta${\displaystyle t_{i}\in [a,b]}$.

El hecho de que las etiquetas puedan estar fuera de los subintervalos es la razón por la que la partición se denomina libre . También es la única diferencia entre las definiciones de la integral de Henstock-Kurzweil y la integral de McShane.

Para una función${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$y una partición etiquetada libre${\displaystyle P}$, definir${\displaystyle S(f,P)=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(a_{i}-a_{i-1}).}$

Una función positiva${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to (0,+\infty )} se denomina calibre en este contexto.

Decimos que una partición etiquetada libre${\displaystyle P}$es${\displaystyle \delta }$-bien si es para todos${\displaystyle i=1,2,\dots ,n,}$

${\displaystyle [a_{i-1},a_{i}]\subseteq [t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})].}$

Intuitivamente, el calibre controla la amplitud de los subintervalos. Al igual que con la integral de Henstock-Kurzweil , esto proporciona una flexibilidad (especialmente cerca de puntos problemáticos) que no ofrece la integral de Riemann .

El valor${\displaystyle \int _{a}^{b}f}$es la integral de McShane de${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$si por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$podemos encontrar un medidor${\displaystyle \delta }$de tal manera que para todos${\displaystyle \delta }$-particiones etiquetadas libres de multas${\displaystyle P}$de${\displaystyle [a,b]}$,

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}fS(f,P)\right|<\varepsilon .}$

Dejar${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ser tal que${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$y${\textstyle f(x)=1}$si${\textstyle x\in ]a,b[.}$

Como es bien sabido, esta función es integrable de Riemann y la integral correspondiente es igual a${\displaystyle ba.}$Demostraremos que esto${\displaystyle f}$También es integrable según McShane y su integral asume el mismo valor.

Para ese propósito, para un dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, elijamos el calibre${\displaystyle \delta (t)}$de tal manera que${\displaystyle \delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4}$y${\displaystyle \delta (t)=ba}$si${\textstyle t\in ]a,b[.}$

Cualquier partición etiquetada libre${\displaystyle P=\{(t_{i},[a_{i-1},a_{i}]):i=1,...,n\}}$de${\displaystyle [a,b]}$puede descomponerse en secuencias como

${\displaystyle (a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])}$, para${\displaystyle j=1,...,\lambda }$,

${\displaystyle (b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$, para${\displaystyle k=1,...,\mu }$, y

${\displaystyle (t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])}$, dónde${\displaystyle r=1,...,\nu }$, de tal manera que${\displaystyle t_{i_{r}}\in ]a,b[}$${\displaystyle (\lambda +\mu +\nu =n).}$

De esta forma, obtenemos la suma de Riemann.

${\displaystyle S(f,P)=\sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})}$

y por consecuencia

${\displaystyle |S(P,f)-(ba)|=\textstyle \sum _ {j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_ {j}}-x_ {i_ {j}-1})+\textstyle \sum _ {k=1}^{\mu}\displaystyle (x_ {i_ {k}}-x_ {i_ {k}-1}).}$

Por lo tanto, si${\displaystyle P}$es un etiquetado gratuito${\displaystyle \delta }$-buena partición que tenemos

${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]}$, por cada${\displaystyle j=1,...,\lambda }$, y

${\displaystyle [x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]}$, por cada${\displaystyle k=1,...,\mu }$.

Dado que cada uno de esos intervalos no se superpone con el interior de todos los restantes, obtenemos

${\displaystyle |S(P,f)-(ba)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

De este modo ${\displaystyle f}$¿McShane es integrable y

${\displaystyle \int _{a}^{b}f=ba.}$

El siguiente ejemplo demuestra la existencia de una distinción entre las integrales de Riemann y las de McShane.

Dejar${\displaystyle d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$la conocida función de Dirichlet dada por

${\displaystyle d(x)={\begin{cases}1,&{\text{si }}x{\text{ es racional,}}\\0,&{\text{si }}x{\text{ es irracional,}}\end{cases}}}$

que se sabe que no es integrable de Riemann. Demostraremos que${\displaystyle d}$es integrable en el sentido de McShane y su integral es cero.

Denotando por${\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}}$el conjunto de todos los números racionales del intervalo${\displaystyle [a,b]}$, para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$Formulemos el siguiente indicador

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{si }}x=r_{n}{\text{ y }}n=1,2,...,\\1,&{\text{si }}x{\text{ es irracional.}}\end{cases}}}$

Para cualquier${\displaystyle \delta }$-partición etiquetada libre de multas${\displaystyle P=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$Consideremos su suma de Riemann.

${\displaystyle S(P,f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$.

Teniendo en cuenta que${\displaystyle f(t_{i})=0}$cuando sea${\displaystyle t_{i}}$es irracional, podemos excluir en la secuencia de pares ordenados que constituyen${\displaystyle P}$, las parejas${\displaystyle (t_{i},[x_{i-1},x_{i}])}$dónde${\displaystyle t_{i}}$es irracional. El resto son subsecuencias del tipo${\displaystyle (r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$de tal manera que${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})]}$,${\displaystyle j=1,...,k.}$Dado que cada uno de esos intervalos no se superpone con el interior de los restantes, cada una de estas secuencias da lugar en la suma de Riemann a subsumas del tipo

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})\leq 2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

De este modo${\textstyle 0\leq S(P,f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$, lo que demuestra que la función de Dirichlet es integrable de McShane y que

${\displaystyle \int _{a}^{b}d=0.}$

Si${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$¿McShane es integrable en?${\displaystyle [a,b]}$entonces${\displaystyle |f|}$También es integrable McShane en${\displaystyle [a,b]}$y${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$.

Si${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$es diferenciable en${\displaystyle [a,b]}$, entonces${\textstyle F'}$¿Es Henstock-Kurzweil integrable en?${\displaystyle [a,b]}$y${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$.

Para ilustrar estos teoremas, analizamos el siguiente ejemplo basado en el Ejemplo 2.4.12. ^{[ 4 ]}

Consideremos la función:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle F}$es obviamente diferenciable en cualquier${\displaystyle x\neq 0}$y diferenciables, también, en ${\displaystyle x=0}$, desde${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$.

Además

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Como función

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

es continua y, por el Teorema 2, la función${\displaystyle F'(x)}$¿Es Henstock-Kurzweil integrable en?${\displaystyle [0,1],}$Entonces, por las propiedades 6 y 7, lo mismo se aplica a la función.

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Pero la función

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{if }}x\neq 0,\\0,&{\text{if }}x=0,\end{cases}}}$

no es integrable en${\displaystyle [0,1]}$para ninguna de las integrales mencionadas.

De hecho, de otro modo, denotando por${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$cualquiera de tales integrales, deberíamos tener necesariamente${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$para cualquier entero positivo${\displaystyle n}$Luego, mediante el cambio de variable${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$, deberíamos obtener teniendo en cuenta la propiedad 5:

${\displaystyle \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq }$

${\displaystyle \geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

Como${\displaystyle n}$es un entero positivo arbitrario y${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$, obtenemos una contradicción.

A partir de este ejemplo podemos concluir las siguientes consecuencias relevantes:

• I) El teorema 1 ya no es cierto para la integral de Henstock-Kurzweil, ya que${\displaystyle g_{0}}$¿Es Henstock-Kurzweil integrable y${\displaystyle g}$no lo es.

• II) El teorema 2 no se cumple para la integral de McShane. En caso contrario${\displaystyle F'}$También debería ser integrable con McShane.${\displaystyle g_{0}}$y por el Teorema 1, como${\displaystyle g}$, lo cual es absurdo.

• III)${\displaystyle F'}$De esta forma, se trata de un ejemplo de función integrable de Henstock-Kurzweil que no es integrable de McShane. Es decir, la clase de funciones integrables de McShane es una subclase estricta de las funciones integrables de Henstock-Kurzweil.

Dejar${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Entonces

${\displaystyle f}$¿Es integrable McShane?${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle f}$es integrable según Lebesgue.

Las integrales correspondientes coinciden.

Este hecho permite concluir que con la integral de McShane se formula una especie de unificación de la teoría de la integración en torno a las sumas de Riemann, que, al fin y al cabo, constituyen el origen de dicha teoría.

Hasta el momento no se conoce una demostración inmediata de dicho teorema.

En Washek Pfeffer ^{[ 4 ]} [Cap. 4] se afirma, mediante el desarrollo de la teoría de la integral de McShane, incluyendo la teoría de la medida, en relación con propiedades ya conocidas de la integral de Lebesgue. En Charles Swartz ^{[ 5 ]} se demuestra esa misma equivalencia en el Apéndice 4.

Además del libro de Russel Gordon ^{[ 3 ]} [Cap. 10], sobre este tema llamamos la atención del lector también sobre las obras de Robert McLeod ^{[ 6 ]} [Cap. 8] y Douglas Kurtz junto con Charles W. Swartz. ^{[ 2 ]}

Otra perspectiva de la integral de McShane es que puede considerarse como una nueva formulación de la integral de Lebesgue sin utilizar la Teoría de la Medida, como alternativa a los cursos de Frigyes Riesz y Bela Sz. Nagy ^{[ 7 ]} [Cap. II] o Serge Lang ^{[ 8 ]} [Cap. X, §4 Apéndice] (véase también ^{[ 9 ]} ).