Anomalía media

En mecánica celeste , la anomalía media es la fracción del período de una órbita elíptica que ha transcurrido desde que el cuerpo en órbita pasó el periapsis , expresada como un ángulo que puede utilizarse para calcular la posición de dicho cuerpo en el problema clásico de dos cuerpos . Es la distancia angular desde el pericentro que tendría un cuerpo ficticio si se moviera en una órbita circular , con velocidad constante , en el mismo período orbital que el cuerpo real en su órbita elíptica. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Definimos T como el tiempo necesario para que un cuerpo en particular complete una órbita. En el tiempo T , el vector de radio barre 2π radianes , o 360°. La tasa promedio de barrido, n , es entonces

$${\displaystyle n={\frac {\,2\,\pi \,}{T}}={\frac {\,360^{\circ }\,}{T}}~,}$$

que se denomina movimiento angular medio del cuerpo, con dimensiones de radianes por unidad de tiempo o grados por unidad de tiempo.

Definimos τ como el tiempo en el que el cuerpo se encuentra en el pericentro. A partir de las definiciones anteriores, se puede definir una nueva magnitud, M , la anomalía media.

$${\displaystyle M=n\,(t-\tau )~,}$$

que proporciona una distancia angular desde el pericentro en un tiempo arbitrario t ^{[ 3 ]} con dimensiones de radianes o grados.

Debido a que la tasa de aumento, n , es un promedio constante, la anomalía media aumenta uniformemente (linealmente) de 0 a 2π radianes o de 0° a 360° durante cada órbita. Es igual a 0 cuando el cuerpo está en el pericentro, π radianes (180°) en el apocentro y 2π radianes (360°) después de una revolución completa. ^{[ 4 ]} Si se conoce la anomalía media en un instante dado, se puede calcular en cualquier instante posterior (o anterior) simplemente sumando (o restando) n⋅δt donde δt representa la pequeña diferencia de tiempo.

La anomalía media no mide el ángulo entre ningún objeto físico (excepto en el pericentro o el apocentro, o en una órbita circular). Es simplemente una medida uniforme y práctica de cuánto se ha desplazado un cuerpo alrededor de su órbita desde el pericentro. La anomalía media es uno de los tres parámetros angulares (conocidos históricamente como "anomalías") que definen una posición a lo largo de una órbita; los otros dos son la anomalía excéntrica y la anomalía verdadera .

La anomalía media M se puede calcular a partir de la anomalía excéntrica E y la excentricidad e con la ecuación de Kepler :

$${\displaystyle M=Ee\,\sin E~.}$$

La anomalía media también se observa con frecuencia como

$${\displaystyle M=M_{0}+n\left(t-t_{0}\right)~,}$$

donde M ₀ es la anomalía media en el instante t ₀ , que puede o no coincidir con τ , el tiempo de paso por el pericentro. El método clásico para hallar la posición de un objeto en una órbita elíptica a partir de un conjunto de elementos orbitales consiste en calcular la anomalía media mediante esta ecuación y, a continuación, resolver la ecuación de Kepler para la anomalía excéntrica.

Definimos ϖ como la longitud del pericentro , la distancia angular del pericentro desde una dirección de referencia. Definimos ℓ como la longitud media , la distancia angular del cuerpo desde la misma dirección de referencia, suponiendo que se mueve con movimiento angular uniforme como con la anomalía media. Por lo tanto, la anomalía media también es ^{[ 6 ].}

$${\displaystyle M=\ell -\varpi ~.}$$

El movimiento angular medio también se puede expresar,

$${\displaystyle n={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}~,}$$

donde μ es el parámetro gravitacional , que varía con las masas de los objetos, y a es el semieje mayor de la órbita. La anomalía media puede entonces expandirse,

$${\displaystyle M={\sqrt {{\frac {\mu }{\;a^{3}\,}}\,}}\,\left(t-\tau \right)~,}$$

y aquí la anomalía media representa un movimiento angular uniforme en un círculo de radio a . ^{[ 7 ]}

La anomalía media se puede calcular a partir de la excentricidad y la anomalía verdadera v hallando la anomalía excéntrica y luego utilizando la ecuación de Kepler. Esto da, en radianes: $${\displaystyle M=\operatorname {atan2} \left({\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu ,e+\cos \nu \right)-e{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$$ donde atan2 (y, x) es el ángulo desde el eje x del rayo desde (0,  0) hasta (x,  y), que tiene el mismo signo que y.

Para trayectorias parabólicas e hiperbólicas, la anomalía media no está definida, ya que no tienen periodo. Pero en esos casos, al igual que con las órbitas elípticas, el área barrida por una cuerda entre el atractor y el objeto que sigue la trayectoria aumenta linealmente con el tiempo. Para el caso hiperbólico, existe una fórmula similar a la anterior que da el tiempo transcurrido en función del ángulo (la verdadera anomalía en el caso elíptico), como se explica en el artículo Órbita de Kepler . Para el caso parabólico hay una fórmula diferente, el caso límite tanto para el caso elíptico como para el hiperbólico cuando la distancia entre los focos tiende a infinito – ver Trayectoria parabólica#Ecuación de Barker .

La anomalía media también puede expresarse como un desarrollo en serie : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle M=\nu +2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left[{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-e^{2}}}\right]\beta ^{n}\sin {n\nu }}$$

con${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

$${\displaystyle M=\nu -2\,e\sin \nu +\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {1}{8}}e^{4}\right)\sin 2\nu -{\frac {1}{3}}e^{3}\sin 3\nu +{\frac {5}{32}}e^{4}\sin 4\nu +\operatorname {\mathcal {O}} \izquierda(e^{5}\derecha)}$$

Una fórmula similar proporciona la anomalía verdadera directamente en términos de la anomalía media: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \nu =M+\left(2\,e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$$

Una formulación general de la ecuación anterior se puede escribir como la ecuación del centro : ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \nu =M+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left[J_{s}(se)+\sum _{p=1}^{\infty }\beta ^{p}{\big (}J_{sp}(se)+J_{s+p}(se){\big )}\right]\sin(sM)}$$

• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Longitud media
• Movimiento medio
• Elementos orbitales

• Entrada del glosario: anomalía, media. Archivado el 23/12/2017 en Wayback Machine en el Almanaque Astronómico en línea del Observatorio Naval de EE. UU. Archivado el 20/04/2015 en Wayback Machine.