Longitud media del segmento de línea

En geometría , la longitud media de un segmento de línea es la longitud promedio de un segmento de línea que conecta dos puntos elegidos de manera uniforme al azar en una forma dada. En otras palabras, es la distancia euclidiana esperada entre dos puntos aleatorios, donde cada punto en la forma tiene la misma probabilidad de ser elegido.

Incluso en el caso de formas simples, como un cuadrado o un triángulo, puede resultar difícil calcular el valor exacto de la longitud media de sus segmentos de línea, ya que sus expresiones en forma cerrada pueden volverse bastante complicadas. Como ejemplo, considere la siguiente pregunta:

¿Cuál es la distancia promedio entre dos puntos elegidos al azar dentro de un cuadrado con una longitud de lado de 1?

Aunque la pregunta puede parecer simple, tiene una respuesta bastante complicada; el valor exacto para esto es . ${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}}$

La longitud media del segmento de línea para una forma n - dimensional S puede definirse formalmente como la distancia euclidiana esperada ||⋅|| entre dos puntos aleatorios x e y , ^[1]

${\displaystyle \mathbb {E} [\|xy\|]={\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\int _{S}\int _{S}\|xy\|\,d\lambda (x)\,d\lambda (y)}$

donde λ es la medida de Lebesgue n -dimensional .

Para el caso bidimensional , esto se define utilizando la fórmula de distancia para dos puntos ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ )

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\iint _{S}\iint _{S}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{ 2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}.}$

Dado que calcular la longitud media del segmento de línea implica calcular integrales multidimensionales, se pueden utilizar varios métodos de integración numérica para aproximar este valor para cualquier forma.

Uno de estos métodos es el método de Monte Carlo . Para aproximar la longitud media del segmento de línea de una forma dada, se eligen al azar dos puntos en su interior y se mide la distancia. Después de varias repeticiones de estos pasos, el promedio de estas distancias finalmente convergerá al valor verdadero.

Estos métodos sólo pueden dar una aproximación; no pueden utilizarse para determinar su valor exacto.

Para un segmento de línea de longitud d , la distancia promedio entre dos puntos es1/3⁠ d . ^[1]

Para un triángulo con lados de longitud a , b y c , la distancia promedio entre dos puntos en su interior está dada por la fórmula ^[2]

${\displaystyle {\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}[{\frac {1}{a^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{a}}}\right)+{\frac {1}{b^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{b}}}\right)+{\frac {1}{c^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{c}}}\right)\right]+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(bc)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(ac)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(ab)^{2}}{30c^{2}}},}$

donde es el semiperímetro , y denota . ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$$estilo de visualización s_{i}}$${\displaystyle si}$

Para un triángulo equilátero con una longitud de lado a , esto es igual a

${\displaystyle \left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\aproximadamente 0,364791843\ldots a.}$

La distancia media entre dos puntos dentro de un cuadrado con una longitud de lado s es ^[3]

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\aproximadamente 0,521405433\ldots s.}$

De manera más general, la longitud media del segmento de línea de un rectángulo con lados de longitud l y w es ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{15}}[{\frac {l^{3}}{w^{2}}}+{\frac {w^{3}}{l^{2}}}+d(3-{\frac {l^{2}}{w^{2}}}-{\frac {w^{2}}{l^{2}}}\right)+{\frac {5}{2}}({\frac {w^{2}}{l}}\ln ({\frac {l+d}{w}}\right)+{\frac {l^{2}}{w}}\ln ({\frac {w+d}{l}}\right)\right)\right]}$

donde es la longitud de la diagonal del rectángulo. ${\displaystyle d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}}$

Si, en cambio, se elige que los dos puntos estén en lados diferentes del cuadrado, la distancia promedio viene dada por ^{[3] [4]}

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\aproximadamente 0,869009\ldots s.}$

La distancia promedio entre puntos dentro de un hipercubo unitario de n dimensiones se denota como Δ( n ) y se da como ^[5]

${\displaystyle \Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}}$

Los dos primeros valores, Δ(1) y Δ(2) , se refieren al segmento de línea unitario y al cuadrado unitario respectivamente.

Para el caso tridimensional , la longitud media del segmento de línea de un cubo unitario también se conoce como constante de Robbins , llamada así en honor a David P. Robbins . Esta constante tiene una forma cerrada, ^[6]

${\displaystyle \Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}$

Su valor numérico es aproximadamente 0,661707182... (secuencia A073012 en la OEIS )

Andersson et. al. (1976) demostraron que Δ( n ) satisface los límites ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\frac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left[1+2\left(1-{\frac {3}{5n}}\right)^{1/2}\right]}}.}$

La elección de puntos de dos caras diferentes del cubo unitario también da un resultado con una forma cerrada, dada por, ^[4]

${\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.}$

La longitud media de la cuerda entre puntos de la circunferencia de un círculo de radio r es ^[8]

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}r\aproximadamente 1,273239544\ldots r}$

Y elegir puntos en la superficie de una esfera con radio r es ^[9]

${\displaystyle {\frac {4}{3}}r}$

La distancia media entre puntos dentro de un disco de radio r es ^[10]

${\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}r\aprox 0,905414787\ldots r.}$

También se conocen los valores para medio disco y cuarto de disco. ^[11]

Para un medio disco de radio 1:

${\displaystyle {\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\aproximadamente 0,706053409\ldots }$

Para un cuarto de disco de radio 1:

${\displaystyle {\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\aproximadamente 0,473877262\ldots }$

Para una bola tridimensional , esto es

${\displaystyle {\frac {36}{35}}r\aprox 1.028571428\lpuntos r.}$

De manera más general, la longitud media del segmento de línea de una bola n es ^[1]

${\displaystyle {\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r}$

donde β _n depende de la paridad de n ,

${\displaystyle \beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}}$

Burgstaller y Pillichshammer (2008) demostraron que para un subconjunto compacto del espacio euclidiano n -dimensional con diámetro 1, su longitud media del segmento de línea L satisface ^[1]

${\displaystyle L\leq {\sqrt {\frac {2n}{n+1}}}{\frac {2^{n-2}\Gamma (n/2)^{2}}{\Gamma (n-1/2){\sqrt {\pi }}}}}$

donde Γ denota la función gamma . Para n = 2, existe un límite más fuerte.

${\displaystyle L\leq {\frac {229}{800}}+{\frac {44}{75}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {19}{480}}{\sqrt {5}}=0.678442\ldots }$

• Weisstein, Eric W. "Longitud media del segmento de línea". MathWorld .