Desviación logarítmica media

En estadística y econometría , la desviación logarítmica media (DLM) es una medida de la desigualdad de ingresos . La DLM es cero cuando todos tienen el mismo ingreso y adquiere valores positivos mayores a medida que los ingresos se vuelven más desiguales, especialmente en el extremo superior.

El MLD del ingreso familiar se ha definido como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}}$

donde N es el número de hogares,${\displaystyle x_{i}}$es el ingreso del hogar i , y${\displaystyle {\overline {x}}}$es la media de${\displaystyle x_{i}}$Naturalmente, la misma fórmula puede utilizarse para variables positivas distintas de los ingresos y para unidades de observación distintas de los hogares.

Las definiciones equivalentes son

${\displaystyle \mathrm {MLD} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln {\overline {x}}-\ln x_{i})=\ln {\overline {x}}-{\overline {\ln x}}}$

dónde${\displaystyle {\overline {\ln x}}}$es la media de  ln( x ). La última definición muestra que MLD es no negativo, ya que${\displaystyle \ln {\overline {x}}\geq {\overline {\ln x}}}$por la desigualdad de Jensen .

MLD se ha denominado "la desviación estándar de ln( x )", ^{[ 1 ]} (SDL), pero esto no es correcto. La SDL es

${\displaystyle \mathrm {SDL} ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\ln x_{i}-{\overline {\ln x}})^{2}}}}$

y esto no es igual a la MLD.

En particular, si una variable aleatoria${\displaystyle X}$sigue una distribución lognormal con media y desviación estándar de${\displaystyle \log(X)}$ser${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$, respectivamente, entonces

${\displaystyle EX=\exp\{\mu +\sigma ^{2}/2\}.}$

Por lo tanto, asintóticamente, MLD converge a:

${\displaystyle \ln\{\exp[\mu +\sigma ^{2}/2]\}-\mu =\sigma ^{2}/2}$

Para la distribución log-normal estándar, SDL converge a 1, mientras que MLD converge a 1/2.

El MLD es un caso especial del índice de entropía generalizado . Específicamente, el MLD es el índice de entropía generalizado con α=0.

• Oficina del Censo de EE. UU .: Desviación logarítmica media (MLD)