Media de una función

En cálculo , y especialmente en cálculo multivariable , la media de una función se define de forma imprecisa como el valor promedio de la función en su dominio .

En un dominio unidimensional , la media${\displaystyle {\bar {f}}}$de una función f ( x ) sobre el intervalo [ a , b ] se define por ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Esta definición se puede justificar de la siguiente manera. El valor promedio${\displaystyle {\bar {y}}}$de un número finito de números${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots,y_{n}}$se define por la propiedad${\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}$. En otras palabras,${\displaystyle {\bar {y}}}$es el valor constante que cuando se agrega${\displaystyle n}$veces es igual al resultado de sumar el${\displaystyle n}$términos${\ Displaystyle y_ {1}, \ puntos, y_ {n}}$Por analogía, una propiedad definitoria del valor promedio${\displaystyle {\bar {f}}}$de una función sobre el intervalo${\displaystyle [a,b]}$es que $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ En otras palabras,${\displaystyle {\bar {f}}}$es el valor constante que cuando se integra sobre${\displaystyle [a,b]}$es igual al resultado de integrar${\displaystyle f(x)}$encima${\displaystyle [a,b]}$. Pero la integral de una constante${\displaystyle {\bar {f}}}$es solo $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(ba){\bar {f}}.}$$

En varias variables , la media sobre un dominio relativamente compacto U en un espacio euclidiano se define por

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f\;dV}$

dónde${\displaystyle {\hbox{Vol}}(U)}$y${\displaystyle dV}$son, respectivamente, el volumen del dominio y el elemento de volumen (o generalizaciones de los mismos, por ejemplo, la forma de volumen ).

Lo anterior generaliza la media aritmética a funciones. Por otro lado, también es posible generalizar la media geométrica a funciones mediante:

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).}$

En términos más generales, tanto en la teoría de la medida como en la teoría de la probabilidad , ambos tipos de media desempeñan un papel importante. En este contexto, la desigualdad de Jensen proporciona estimaciones precisas sobre la relación entre estas dos nociones diferentes de la media de una función.

También existe un promedio armónico de funciones y un promedio cuadrático (o raíz cuadrática media ) de funciones.

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