Teorema del valor medio (diferencias divididas)

En análisis matemático , el teorema del valor medio para diferencias divididas generaliza el teorema del valor medio a derivadas de orden superior. ^{[ 1 ]}

Para cualesquiera n  +  1 puntos distintos por pares x ₀ ,  ..., x _n en el dominio de una función n veces diferenciable f existe un punto interior 

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,}$

donde la n -ésima derivada de f es igual a n ! veces la n -ésima diferencia dividida en estos puntos:

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Para n  =  1, es decir, dos puntos de función, se obtiene el teorema del valor medio simple .

Dejar${\displaystyle P}$Sea el polinomio de interpolación de Lagrange para f en x ₀ ,  ..., x _n . Entonces se deduce de la forma de Newton de ${\displaystyle P}$que el término de orden más alto de${\displaystyle P}$es${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]x^{n}}$.

Dejar${\displaystyle g}$sea ​​el resto de la interpolación, definido por${\displaystyle g=fP}$. Entonces${\displaystyle g}$tiene${\displaystyle n+1}$ceros: x ₀ ,  ..., x _n . Aplicando primero el teorema de Rolle a ${\displaystyle g}$, luego a${\displaystyle g'}$y así sucesivamente hasta${\displaystyle g^{(n-1)}}$, encontramos que${\displaystyle g^{(n)}}$tiene un cero${\displaystyle \xi }$Esto significa que

${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$,

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

El teorema puede utilizarse para generalizar la media de Stolarsky a más de dos variables.