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Articulo de referencia

Ancho medio

En geometría, la anchura media es una medida del "tamaño" de un cuerpo; consulte el teorema de Hadwiger para obtener más información sobre las medidas disponibles de los cuerpos...

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En geometría, la anchura media es una medida del "tamaño" de un cuerpo; consulte el teorema de Hadwiger para obtener más información sobre las medidas disponibles de los cuerpos.norte{\displaystyle n}dimensiones que hay que considerar(norte−1){\displaystyle (n-1)}hiperplanos de -dimensiones perpendiculares a una dirección dadanorte^{\displaystyle {\hat {n}}}enSnorte−1{\displaystyle S^{n-1}}, dóndeSnorte{\displaystyle S^{n}}es la n-esfera (la superficie de una(norte+1){\displaystyle (n+1)}esfera dimensional). El "ancho" de un cuerpo en una dirección dadanorte^{\displaystyle {\hat {n}}}es la distancia entre el par más cercano de dichos planos, de modo que el cuerpo se encuentre completamente entre los dos hiperplanos (los planos solo se intersecan con el límite del cuerpo). El ancho medio es el promedio de este "ancho" sobre todos losnorte^{\displaystyle {\hat {n}}}enSnorte−1{\displaystyle S^{n-1}}.

ancho en dir n
La definición del "ancho" del cuerpo B en direcciónnorte^{\displaystyle {\hat {n}}}en 2 dimensiones.

De manera más formal, definimos un cuerpo compacto B como equivalente al conjunto de puntos en su interior más los puntos en el límite (aquí, los puntos denotan elementos deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}). La función de soporte del cuerpo B se define como

hB(norte)=máximo{⟨norte,incógnita⟩|incógnita∈B}{\displaystyle h_{B}(n)=\max\{\langle n,x\rangle |x\in B\}}

dóndenorte{\displaystyle n}es una dirección y⟨,⟩{\displaystyle \langle ,\rangle }denota el producto interno usual enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}El ancho medio es entonces

b(B)=1Snorte−1∫Snorte−1hB(norte^)+hB(−norte^),{\displaystyle b(B)={\frac {1}{S_{n-1}}}\int _{S^{n-1}}h_{B}({\hat {n}})+h_{B}(-{\hat {n}}),}

dóndeSnorte−1{\displaystyle S_{n-1}}es el(norte−1){\displaystyle (n-1)}-volumen dimensional deSnorte−1{\displaystyle S^{n-1}}. Nótese que el ancho medio se puede definir para cualquier cuerpo (que sea compacto), pero es más útil para cuerpos convexos (es decir, cuerpos cuyo conjunto correspondiente es un conjunto convexo ).

Anchos medios de cuerpos convexos en dimensiones reducidas

Una dimensión

El ancho medio de un segmento de línea L es la longitud (1-volumen) de L.

Dos dimensiones

El ancho medio w de cualquier figura compacta S en dos dimensiones es p /π, donde p es el perímetro de la envoltura convexa de S. Por lo tanto, w es el diámetro de un círculo con el mismo perímetro que la envoltura convexa.

Tres dimensiones

Para cuerpos convexos K en tres dimensiones, el ancho medio de K está relacionado con el promedio de la curvatura media , H , sobre toda la superficie de K. De hecho,

∫δKH2πdS=b(K){\displaystyle \int _{\delta K}{\frac {H}{2\pi }}dS=b(K)}

dóndeδK{\displaystyle \delta K}es el límite del cuerpo convexoK{\displaystyle K}ydS{\displaystyle dS} un elemento integral de superficie ,H{\displaystyle H}es la curvatura media en la posición correspondiente enδK{\displaystyle \delta K}Se pueden establecer relaciones similares entre las otras medidas y las generalizaciones de la curvatura media, también para otras dimensiones. [ 1 ] Dado que la integral sobre la curvatura media suele ser mucho más fácil de calcular que el ancho medio, este es un resultado muy útil.

Véase también

Referencias

  1. ^ Jiazu, Zhou; Deshuo, Jiang (2008), "Sobre las curvaturas medias de un cuerpo convexo paralelo", Acta Mathematica Scientia , 28 (3): 489– 494, doi : 10.1016/S0252-9602(08)60050-8

Lecturas adicionales

El ancho medio suele mencionarse en cualquier buena obra de referencia sobre geometría convexa, por ejemplo, en Selected topics in convex geometry de Maria Moszyńska (Birkhäuser, Boston 2006). En dicha obra también se deduce la relación entre el ancho medio y la curvatura media.

La aplicación del ancho medio como una de las medidas que aparecen en el teorema de Hadwiger se analiza en Beifang Chen en "Una demostración elemental simplificada del teorema del volumen de Hadwiger". Geom. Dedicata 105 (2004), 107—120.