Grupo medible

En matemáticas, un grupo medible es un tipo especial de grupo que se encuentra en la intersección entre la teoría de grupos y la teoría de la medida . Los grupos medibles se utilizan para estudiar medidas en un contexto abstracto y suelen estar estrechamente relacionados con los grupos topológicos .

Dejar${\displaystyle (G,\circ )}$un grupo con derecho de grupo

${\displaystyle \circ :G\times G\to G}$.

Dejemos más${\displaystyle {\mathcal {G}}}$sea ​​una σ-álgebra de subconjuntos del conjunto${\displaystyle G}$.

El grupo, o más formalmente el triple${\displaystyle (G,\circ ,{\mathcal {G}})}$Se denomina grupo medible si ^{[ 1 ]}

• la inversión${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$es medible desde${\displaystyle {\mathcal {G}}}$a${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.
• la ley de grupo${\displaystyle (g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\circ g_{2}}$es medible desde${\displaystyle {\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {G}}}$a${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Aquí,${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$denota la formación del σ-álgebra producto de las σ-álgebras${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Cada grupo topológico segundo numerable${\displaystyle (G,{\mathcal {O}})}$puede tomarse como un grupo medible. Esto se hace equipando al grupo con el álgebra σ de Borel.

${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)=\sigma ({\mathcal {O}})}$,

que es el σ-álgebra generado por la topología . Dado que por definición de un grupo topológico, la ley de grupo y la formación del elemento inverso son continuas, ambas operaciones son en este caso también medibles desde${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$a${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$y de${\displaystyle {\mathcal {B}}(G\times G)}$a${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)}$, respectivamente. La segunda numerabilidad garantiza que${\displaystyle {\mathcal {B}}(G)\otimes {\mathcal {B}}(G)={\mathcal {B}}(G\times G)}$y por lo tanto el grupo${\displaystyle G}$También es un grupo mensurable.

Los grupos medibles pueden considerarse grupos de acción medibles que actúan sobre sí mismos.