Mapa de Pseudo-Anosov

En matemáticas , específicamente en topología , un mapa pseudo-Anosov es un tipo de difeomorfismo u homeomorfismo de una superficie . Es una generalización de un difeomorfismo de Anosov lineal del toro . Su definición se basa en la noción de foliación medida introducida por William Thurston , quien también acuñó el término "difeomorfismo pseudo-Anosov" al demostrar su clasificación de difeomorfismos de una superficie .

Una foliación medida F en una superficie cerrada S es una estructura geométrica en S que consiste en una foliación singular y una medida en la dirección transversal. En algún entorno de un punto regular de F , existe una "caja de flujo" φ : U → R ² que envía las hojas de F a las líneas horizontales en R ² . Si dos de estos entornos U _i y U _j se superponen, entonces existe una función de transición φ _ij definida en φ _j ( U _j ), con la propiedad estándar

${\displaystyle \phi _{ij}\circ \phi _{j}=\phi _{i},}$

que debe tener la forma

${\displaystyle \phi (x,y)=(f(x,y),c\pm y)}$

para alguna constante c . Esto asegura que a lo largo de una curva simple, la variación en la coordenada y , medida localmente en cada carta, es una cantidad geométrica (es decir, independiente de la carta) y permite la definición de una variación total a lo largo de una curva cerrada simple en S. Se permite un número finito de singularidades de F del tipo " silla de p puntas", p ≥3. En un punto singular de este tipo, la estructura diferenciable de la superficie se modifica para convertir el punto en un punto cónico con el ángulo total π p . La noción de un difeomorfismo de S se redefine con respecto a esta estructura diferenciable modificada. Con algunas modificaciones técnicas, estas definiciones se extienden al caso de una superficie con frontera.

Un homeomorfismo

${\displaystyle f:S\to S}$

Una superficie cerrada S se denomina pseudo-Anosov si existe un par transversal de foliaciones medidas en S , F ^s (estable) y F ^u (inestable), y un número real λ  >  1 tal que las foliaciones se conservan mediante f y sus medidas transversales se multiplican por 1/ λ y λ . El número λ se denomina factor de estiramiento o dilatación de f .

Thurston construyó una compactificación del espacio de Teichmüller T ( S ) de una superficie S tal que la acción inducida sobre T ( S ) por cualquier difeomorfismo f de S se extiende a un homeomorfismo de la compactificación de Thurston. La dinámica de este homeomorfismo es más simple cuando f es una aplicación pseudo-Anosov: en este caso, hay dos puntos fijos en el límite de Thurston, uno atractor y otro repulsor, y el homeomorfismo se comporta de manera similar a un automorfismo hiperbólico del semiplano de Poincaré . Un difeomorfismo "genérico" de una superficie de género al menos dos es isotópico a un difeomorfismo pseudo-Anosov.

Utilizando la teoría de las vías del tren , la noción de mapa pseudo-Anosov se ha extendido a automapas de grafos (desde el punto de vista topológico) y automorfismos externos de grupos libres (desde el punto de vista algebraico). Esto conduce a un análogo de la clasificación de Thurston para el caso de automorfismos de grupos libres, desarrollado por Bestvina y Handel.

• A. Casson, S. Bleiler, "Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston", (Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres 9), (1988).
• A. Fathi, F. Laudenbach y V. Poénaru , "Travaux de Thurston sur les marks", Asterisque, vols. 66 y 67 (1979).
• RC Penner. "Una construcción de homeomorfismos pseudo-Anosov", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179 – 197
• Thurston, William P. (1988), "Sobre la geometría y la dinámica de los difeomorfismos de superficies", Bulletin of the American Mathematical Society , Nueva Serie, 19 (2): 417– 431, doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15685-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0956596