Medición de la coalgebra

En álgebra , una coalgebra de medición de dos álgebras A y B es un enriquecimiento de coalgebra del conjunto de homomorfismos de A a B. En otras palabras, si se piensa en las coalgebras como una especie de análogo lineal de conjuntos, entonces la coalgebra de medición es una especie de análogo lineal del conjunto de homomorfismos de A a B. En particular, sus elementos similares a grupos son (esencialmente) los homomorfismos de A a B. Las coalgebras de medición fueron introducidas por Sweedler  (1968, 1969).

Se dice que una coalgebra C con una función lineal de C × A a B mide de A a B si conserva el producto algebraico y la identidad (en el sentido de coalgebra). Si pensamos en los elementos de C como funciones lineales de A a B , esto significa que c ( a ₁ a ₂ ) = Σ c ₁ ( a ₁ ) c ₂ ( a ₂ ) donde Σ c ₁ ⊗ c ₂ es el coproducto de c , y c multiplica las identidades por la counidad de c . En particular, si c es similar a un grupo, esto simplemente establece que c es un homomorfismo de A a B . Una coalgebra de medición es una coalgebra universal que mide de A a B en el sentido de que cualquier coalgebra que mida de A a B puede mapearse en ella de una manera natural única.

• Los elementos grupales de una coalgebra de medición de A a B son los homomorfismos de A a B.
• Los elementos primitivos de una coálgebra de medición de A a B son las derivaciones de A a B.
• Si A es el álgebra de funciones reales continuas en un espacio de Hausdorff compacto X , y B son los números reales, entonces la coalgebra de medición de A a B puede identificarse con medidas finitamente soportadas en X . Este puede ser el origen del término "coalgebra de medición".
• En el caso especial cuando A  =  B , la coálgebra de medición tiene una estructura natural de un álgebra de Hopf , llamada álgebra de Hopf del álgebra A.

• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR  2724822, Zbl  1211.16023
• Sweedler, Moss E. (1968), "El álgebra de Hopf de un álgebra aplicada a la teoría de campos", J. Algebra , 8 (3): 262–276, doi :10.1016/0021-8693(68)90059-8, MR  0222053
• Sweedler, Moss E. (1969), Álgebras de Hopf, Mathematics Lecture Note Series, WA Benjamin, Inc., Nueva York, ISBN 9780805392548, MR  0252485, Zbl  0194.32901