Equilibrio mecánico

Un objeto que reposa sobre una superficie y su diagrama de cuerpo libre correspondiente , que muestra las fuerzas que actúan sobre él. La fuerza normal N es igual, opuesta y colineal a la fuerza gravitatoria *mg,* por lo que la fuerza y el momento netos son cero. En consecuencia, el objeto se encuentra en un estado de equilibrio mecánico estático.

En mecánica clásica , una partícula está en equilibrio mecánico si la fuerza neta sobre esa partícula es cero. ^{[ 1 ]}^{: 39} Por extensión, un sistema físico compuesto de muchas partes está en equilibrio mecánico si la fuerza neta sobre cada una de sus partes individuales es cero. ^{[ 1 ]}^{: 45–46}^{[ 2 ]}

Además de definir el equilibrio mecánico en términos de fuerza, existen muchas definiciones alternativas de equilibrio mecánico que son todas matemáticamente equivalentes.

En términos de momento lineal, un sistema está en equilibrio si el momento lineal de todas sus partes es constante.
En términos de velocidad, el sistema está en equilibrio si la velocidad es constante.
En un equilibrio mecánico rotacional, el momento angular del objeto se conserva y el torque neto es cero. ^{[ 2 ]}

En términos más generales, en sistemas conservativos , el equilibrio se establece en un punto del espacio de configuración donde el gradiente de la energía potencial con respecto a las coordenadas generalizadas es cero.

Si una partícula en equilibrio tiene velocidad cero, esa partícula está en equilibrio estático.. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Dado que todas las partículas en equilibrio tienen velocidad constante, siempre es posible encontrar un marco de referencia inercial en el que la partícula esté estacionaria con respecto al marco.

Estabilidad

Una propiedad importante de los sistemas en equilibrio mecánico es su estabilidad .

Prueba de estabilidad de energía potencial

En una función que describe la energía potencial del sistema, los equilibrios del sistema se pueden determinar mediante cálculo . Un sistema está en equilibrio mecánico en los puntos críticos de la función que describe la energía potencial del sistema . Estos puntos se pueden localizar utilizando el hecho de que la derivada de la función es cero en estos puntos. Para determinar si el sistema es estable o inestable, se aplica la prueba de la segunda derivada . $V$ Al denotar la ecuación de movimiento estática de un sistema con un solo grado de libertad, se pueden realizar los siguientes cálculos:

Segunda derivada < 0: La energía potencial alcanza un máximo local, lo que significa que el sistema se encuentra en un estado de equilibrio inestable. Si el sistema se desplaza una distancia arbitrariamente pequeña respecto al estado de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre él provocan que se aleje aún más.

Segunda derivada > 0: La energía potencial se encuentra en un mínimo local. Este es un equilibrio estable. Ante una pequeña perturbación, se generan fuerzas que tienden a restablecer el equilibrio. Si un sistema puede tener más de un estado de equilibrio estable, cualquier equilibrio cuya energía potencial sea superior al mínimo absoluto representa un estado metaestable.

Segunda derivada = 0: El estado es neutral al orden más bajo y permanece casi en equilibrio si se desplaza una pequeña cantidad. Para investigar la estabilidad precisa del sistema, se pueden examinar las derivadas de orden superior . El estado es inestable si la derivada no nula más baja es de orden impar o tiene un valor negativo, y estable si la derivada no nula más baja es de orden par y tiene un valor positivo. Si todas las derivadas son cero, entonces es imposible obtener conclusiones solo a partir de las derivadas. Por ejemplo, la función $e^{-1/x^{2}}$ La función (definida como 0 en x=0) tiene todas sus derivadas iguales a cero. Al mismo tiempo, esta función tiene un mínimo local en x=0, por lo que constituye un equilibrio estable. Si esta función se multiplica por la función signo , todas sus derivadas seguirán siendo cero, pero se convertirá en un equilibrio inestable.

Diagrama de una bola colocada en equilibrio neutro.

La función es localmente constante.: En un estado verdaderamente neutro, la energía no varía y el estado de equilibrio tiene una amplitud finita. A esto se le suele denominar estado marginalmente estable, estado de indiferencia o equilibrio astable.

Al considerar más de una dimensión, es posible obtener resultados diferentes en distintas direcciones; por ejemplo, estabilidad con respecto a los desplazamientos en la dirección x , pero inestabilidad en la dirección y , un caso conocido como punto de silla . Generalmente, un equilibrio se considera estable solo si lo es en todas las direcciones.

Sistema estáticamente indeterminado

En ocasiones, las ecuaciones de equilibrio ( condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos ) resultan insuficientes para determinar las fuerzas y reacciones . Esta situación se denomina estáticamente indeterminada .

Las situaciones estáticamente indeterminadas a menudo pueden resolverse utilizando información ajena a las ecuaciones de equilibrio estándar.

Ejemplos

Un objeto (o conjunto de objetos) en reposo se encuentra en "equilibrio estático", un caso especial de equilibrio mecánico. Un pisapapeles sobre un escritorio es un ejemplo de equilibrio estático. Otros ejemplos incluyen una escultura de equilibrio de rocas o una pila de bloques en el juego Jenga , siempre y cuando la escultura o la pila de bloques no estén a punto de colapsar .

Los objetos en movimiento también pueden estar en equilibrio. Un niño que se desliza por un tobogán a velocidad constante estaría en equilibrio mecánico, pero no en equilibrio estático (en el sistema de referencia de la Tierra o del tobogán).

Otro ejemplo de equilibrio mecánico es cuando una persona presiona un resorte hasta un punto determinado. Puede presionarlo hasta cualquier punto y mantenerlo allí, momento en el que la carga de compresión y la reacción del resorte se igualan. En este estado, el sistema se encuentra en equilibrio mecánico. Al retirar la fuerza de compresión, el resorte vuelve a su estado original.

El número mínimo de equilibrios estáticos de cuerpos homogéneos y convexos (cuando reposan bajo la acción de la gravedad sobre una superficie horizontal) es de especial interés. En el caso plano, el número mínimo es 4, mientras que en tres dimensiones se puede construir un objeto con un solo punto de equilibrio estable y uno inestable. ^{[ 5 ]} Dicho objeto se denomina gömböc .

Véase también

Notas y referencias

1 2 John L Synge y Byron A Griffith (1949). Principios de mecánica (2.ª ed.). McGraw-Hill.
1 2 Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ y Eisenberg, ER (2009). Mecánica vectorial para ingenieros: estática y dinámica (9.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 158. {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Herbert Charles Corben y Philip Stehle (1994). Mecánica clásica (Reimpresión de la segunda edición de 1960 ). Courier Dover Publications. pág. 113. ISBN 0-486-68063-0.
^ Lakshmana C. Rao; J. Lakshminarasimhan; Raju Sethuraman; Srinivasan M. Sivakumar (2004). Ingeniería Mecánica . PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 6.ISBN 81-203-2189-8.
↑ "Matemáticas" . Gömböc . 2021. Consultado el 12 de noviembre de 2023 .

Lecturas adicionales

Marion JB y Thornton ST. (1995) Dinámica clásica de partículas y sistemas. Cuarta edición, Harcourt Brace & Company.

[Synge-1] 1 2 John L Synge y Byron A Griffith (1949). Principios de mecánica (2.ª ed.). McGraw-Hill.

[beer-2] 1 2 Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ y Eisenberg, ER (2009). Mecánica vectorial para ingenieros: estática y dinámica (9.ª ed.). McGraw-Hill. pág. 158. {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[Stehle-3] Herbert Charles Corben y Philip Stehle (1994). Mecánica clásica (Reimpresión de la segunda edición de 1960 ). Courier Dover Publications. pág. 113. ISBN 0-486-68063-0.

[Rao-4] Lakshmana C. Rao; J. Lakshminarasimhan; Raju Sethuraman; Srinivasan M. Sivakumar (2004). Ingeniería Mecánica . PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 6.ISBN 81-203-2189-8.

[5] "Matemáticas" . Gömböc . 2021. Consultado el 12 de noviembre de 2023 .

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