Modelo de apego impulsado por la mediación

En la teoría de redes libres de escala ( teoría matemática de redes o teoría de grafos ), un modelo de conexión impulsada por mediación (MDA) parece incorporar una regla de conexión preferencial de manera tácita en lugar de explícita. Según la regla MDA, un nuevo nodo primero elige un nodo de la red existente al azar y se conecta no con ese nodo sino con uno de los vecinos también elegido al azar.

En 1999, Barabasi y Albert observaron en su artículo seminal ^[1] que (i) la mayoría de las redes naturales y artificiales no son estáticas, sino que crecen con el tiempo y (ii) los nuevos nodos no se conectan con uno ya conectado de manera aleatoria, sino de manera preferencial con respecto a sus grados. El último mecanismo se denomina regla de apego preferencial (PA) que encarna el fenómeno de los ricos se vuelven más ricos en economía. En su primer modelo, conocido como el modelo Barabási-Albert , Barabási y Albert (modelo BA) eligen

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{\sum _{j=1}k_{j}}}}$

donde, es la probabilidad de que el nuevo nodo elija un nodo de los nodos etiquetados de la red existente. Representa directamente el mecanismo de los ricos que se hacen más ricos. ${\displaystyle \Pi(i)}$${\estilo de visualización i}$

Recientemente, Hassan et al. propusieron un modelo de apego impulsado por mediación que parece incorporar la regla de PA pero no directamente sino disfrazada. ^[2] En el modelo MDA, un nodo entrante elige un nodo existente para conectarse eligiendo primero uno de los nodos existentes al azar que se considera mediador. El nuevo nodo luego se conecta con uno de los vecinos del mediador que también se elige al azar. Ahora la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que un nodo ya existente sea finalmente elegido para conectarlo con el nuevo nodo? Digamos que el nodo tiene grado y, por lo tanto, tiene vecinos. Considere que los vecinos de están etiquetados que tienen grados respectivamente. Se puede llegar al nodo desde cada uno de estos nodos con probabilidades inversas a sus respectivos grados, y es probable que cada uno de los nodos sea elegido al azar con probabilidad . Por lo tanto, la probabilidad del modelo MDA es: ${\displaystyle \Pi(i)}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización i}$$estilo de visualización k_{i}}$$estilo de visualización k_{i}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,k_{i}}$${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}}$${\estilo de visualización i}$$estilo de visualización k_{i}}$$estilo de visualización k_{i}}$${\estilo de visualización 1/N}$${\displaystyle \Pi(i)}$

${\displaystyle \Pi(i)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{k_{i}}}}\right]={\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{N}}.}$

Se puede reescribir como

${\displaystyle \Pi(i)={\frac {k_{i}}{N}}\cdot {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}},}$

donde el factor es el inverso de la media armónica (IHM) de los grados de los vecinos del nodo . Una simulación numérica extensa sugiere que para pequeños el valor IHM de cada nodo fluctúa tan salvajemente que la media de los valores IHM en toda la red no tiene significado. Sin embargo, para grandes (especialmente aproximadamente mayores que 14) la distribución del valor IHM de toda la red se vuelve de tipo gaussiano sesgado a la izquierda y la media comienza a tener un significado que se convierte en un valor constante en el límite grande. En este límite se encuentra lo que es exactamente la regla PA. Implica que cuanto mayores sean los enlaces (grado) que tenga un nodo, mayor será su probabilidad de obtener más enlaces ya que se pueden alcanzar en un mayor número de formas a través de mediadores que esencialmente encarnan la idea intuitiva del mecanismo de los ricos se hacen más ricos. Por lo tanto, se puede ver que la red MDA sigue la regla PA pero disfrazada. Además, para pequeños el MFA ya no es válido, sino que la probabilidad de unión se vuelve de carácter superpreferencial. ${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$$estilo de visualización k_{i}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \Pi (i)\propto k_ {i}}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \Pi(i)}$

La idea de la regla MDA se puede encontrar en el proceso de crecimiento de la red estocástica planar ponderada (WPSL) . Un nodo existente (el centro de cada bloque de la WPSL se considera como nodos y el borde común entre bloques como los enlaces entre los nodos correspondientes) durante el proceso obtiene enlaces solo si se elige uno de sus vecinos y no él mismo. Esto implica que cuanto más altos sean los enlaces (o el grado) que tenga un nodo, mayor será su probabilidad de obtener más enlaces, ya que se puede llegar a ellos de una mayor cantidad de formas. En esencia, encarna la idea intuitiva de la regla PA. Por lo tanto, el dual de la WPSL es una red que se puede ver que sigue la regla de unión preferencial, pero disfrazada. De hecho, se encuentra que su distribución de grados exhibe una ley de potencia como lo subrayan Barabasi y Albert como uno de los ingredientes esenciales. ^{[3] [4]}

Distribución de grados: Los dos factores que hacen que la media del IHM sea significativa y de la que sea independiente implican que se puede aplicar la aproximación de campo medio (MFA). Es decir, dentro de esta aproximación se puede reemplazar el valor IHM verdadero de cada nodo por su media, donde el factor que es el número de aristas con las que vienen los nuevos nodos se introduce para conveniencia posterior. La ecuación de velocidad a resolver se vuelve entonces exactamente como la del modelo BA y, por lo tanto, la red que surge siguiendo la regla MDA también es de naturaleza libre de escala . La única diferencia es que el exponente depende de donde como en el modelo BA independiente de . ${\estilo de visualización N}$${\displaystyle \beta /m}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \gamma ={{1} \over {\beta (m)}}+1}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \gamma =3}$${\estilo de visualización m}$

En una red en crecimiento, no todos los nodos son igualmente importantes. El grado de importancia de los mismos se mide por el valor de su grado . Los nodos que están vinculados a un número inusualmente grande de otros nodos, es decir, nodos con un valor excepcionalmente alto, se conocen como centros. Son especiales porque su existencia hace que la distancia media, medida en unidades de número de enlaces, entre nodos sea increíblemente pequeña, por lo que desempeña un papel clave en la difusión de rumores, opiniones, enfermedades, virus informáticos, etc. ^[5] Por lo tanto, es importante conocer las propiedades del centro más grande, al que consideramos el líder. Al igual que en la sociedad, el liderazgo en una red en crecimiento no es permanente. Es decir, una vez que un nodo se convierte en líder, no significa que siga siendo el líder ad infinitum . Una pregunta interesante es: ¿cuánto tiempo conserva el líder esta propiedad de liderazgo a medida que la red evoluciona? Para encontrar una respuesta a esta pregunta, definimos la probabilidad de persistencia del liderazgo de que un líder conserve su liderazgo al menos hasta tiempo . La probabilidad de persistencia ha sido de interés en muchos sistemas diferentes, desde dinámicas de engrosamiento hasta interfaces fluctuantes o cadenas de polímeros. ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle F(\tau )}$${\estilo de visualización \tau}$

La idea básica de la regla MDA no es, sin embargo, completamente nueva ya que este o modelos similares a este se pueden encontrar en algunos trabajos anteriores, aunque su enfoque, análisis subsiguiente y sus resultados son diferentes de los nuestros. Por ejemplo, Saramaki y Kaski presentaron un modelo basado en paseo aleatorio. ^[6] Otro modelo propuesto por Boccaletti et al. puede parecer similar al nuestro, pero difiere notablemente en una mirada más cercana. ^[7] Recientemente, Yang {\it et al.} también dio una forma para y recurrió a la aproximación de campo medio. ^[8] Sin embargo, la naturaleza de sus expresiones es significativamente diferente de la estudiada por Hassan et al.. Otro modelo estrechamente relacionado es el modelo de Red Creciente con Redireccionamiento (GNR) presentado por Gabel, Krapivsky y Redner donde en cada paso de tiempo un nuevo nodo se une a un nodo objetivo elegido aleatoriamente con probabilidad , o al padre del objetivo con probabilidad . ^[9] El modelo GNR con puede parecer similar al modelo MDA. Sin embargo, a diferencia del modelo GNR, el modelo MDA es para redes no dirigidas, y el nuevo enlace puede conectarse con cualquier vecino del mediador-padre o no. Otra diferencia es que, en el modelo MDA, un nuevo nodo puede unirse a la red existente con bordes y en el modelo GNR se considera solo un caso. ${\displaystyle \Pi(i)}$${\estilo de visualización 1-r}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r=1}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m=1}$