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Dejar${\displaystyle A}$ser un conjunto con un orden parcial${\displaystyle \,\leq ,\,}$y dejar${\displaystyle x,y\in A.}$ Un elemento${\displaystyle m}$de${\displaystyle A}$se llama elconocer (olímite inferior máximo oínfimo ) de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$y se denota por${\displaystyle x\wedge y,}$si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle m\leq x{\text{ and }}m\leq y}$(eso es,${\displaystyle m}$es un límite inferior de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).
2. Para cualquier${\displaystyle w\in A,}$si${\displaystyle w\leq x{\text{ and }}w\leq y,}$entonces${\displaystyle w\leq m}$(eso es,${\displaystyle m}$es mayor o igual que cualquier otro límite inferior de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).

La coincidencia no tiene por qué existir, ya sea porque el par no tiene ningún límite inferior, o porque ninguno de los límites inferiores es mayor que todos los demás. Sin embargo, si hay una coincidencia de${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$entonces es único, ya que si ambos${\displaystyle m{\text{ and }}m^{\prime }}$son los límites inferiores más grandes de${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$entonces${\displaystyle m\leq m^{\prime }{\text{ and }}m^{\prime }\leq m,}$y por lo tanto${\displaystyle m=m^{\prime }.}$^{[ 2 ]} Si no todos los pares de elementos de${\displaystyle A}$tener una reunión, entonces la reunión aún puede verse como una operación binaria parcial en${\displaystyle A.}$^{[ 1 ]}

Si el encuentro existe, entonces se indica${\displaystyle x\wedge y.}$Si todos los pares de elementos de${\displaystyle A}$tener una reunión, entonces la reunión es una operación binaria en${\displaystyle A,}$y es fácil ver que esta operación cumple las siguientes tres condiciones: Para cualquier elemento${\displaystyle x,y,z\in A,}$

1. ${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$( conmutatividad ),
2. ${\displaystyle x\wedge (y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z}$( asociatividad ) y
3. ${\displaystyle x\wedge x=x}$( idempotencia ).

Las uniones se definen de forma dual con la unión de${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$si existe, denotado por${\displaystyle x\vee y.}$ Un elemento${\displaystyle j}$de${\displaystyle A}$es elunirse (olímite superior mínimo osupremo ) de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$en${\displaystyle A}$si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle x\leq j{\text{ and }}y\leq j}$(eso es,${\displaystyle j}$es un límite superior de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).
2. Para cualquier${\displaystyle w\in A,}$si${\displaystyle x\leq w{\text{ and }}y\leq w,}$entonces${\displaystyle j\leq w}$(eso es,${\displaystyle j}$es menor o igual que cualquier otro límite superior de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$).

Por definición, una operación binaria${\displaystyle \,\wedge \,}$en un plató${\displaystyle A}$es un encuentro si satisface las tres condiciones a , b y c . El par${\displaystyle (A,\wedge )}$es entonces un semirretículo de encuentro . Además, podemos definir una relación binaria.${\displaystyle \,\leq \,}$en A , al afirmar que${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle x\wedge y=x.}$ De hecho, esta relación es un orden parcial en${\displaystyle A.}$ De hecho, para cualquier elemento${\displaystyle x,y,z\in A,}$

• ${\displaystyle x\leq x,}$desde${\displaystyle x\wedge x=x}$por c ;
• si${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$entonces${\displaystyle x=x\wedge y=y\wedge x=y}$por un ; y
• si${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq z}$entonces${\displaystyle x\leq z}$Desde entonces${\displaystyle x\wedge z=(x\wedge y)\wedge z=x\wedge (y\wedge z)=x\wedge y=x}$por b .

Tanto las operaciones de encuentro como las de unión satisfacen por igual esta definición: un par de operaciones de encuentro y unión asociadas producen órdenes parciales que son inversas entre sí. Al elegir una de estas órdenes como la principal, también se determina qué operación se considera de encuentro (la que produce la misma orden) y cuál se considera de unión (la otra).

Si${\displaystyle (A,\leq )}$es un conjunto parcialmente ordenado , de tal manera que cada par de elementos en${\displaystyle A}$tiene una reunión, entonces sí${\displaystyle x\wedge y=x}$si y solo si${\displaystyle x\leq y,}$puesto que en este último caso sí${\displaystyle x}$es un límite inferior de${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$y desde${\displaystyle x}$es el mayor límite inferior si y solo si es un límite inferior. Por lo tanto, el orden parcial definido por el punto de encuentro en el enfoque del álgebra universal coincide con el orden parcial original.

Por el contrario, si${\displaystyle (A,\wedge )}$es un semirretículo de encuentro y el orden parcial${\displaystyle \,\leq \,}$se define como en el enfoque del álgebra universal, y${\displaystyle z=x\wedge y}$para algunos elementos${\displaystyle x,y\in A,}$entonces${\displaystyle z}$es el mayor límite inferior de${\displaystyle x{\text{ and }}y}$con respecto a${\displaystyle \,\leq ,\,}$desde $${\displaystyle z\wedge x=x\wedge z=x\wedge (x\wedge y)=(x\wedge x)\wedge y=x\wedge y=z}$$ y por lo tanto${\displaystyle z\leq x.}$ Similarmente,${\displaystyle z\leq y,}$y si${\displaystyle w}$es otro límite inferior de${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$entonces${\displaystyle w\wedge x=w\wedge y=w,}$De dónde $${\displaystyle w\wedge z=w\wedge (x\wedge y)=(w\wedge x)\wedge y=w\wedge y=w.}$$ Por lo tanto, hay un encuentro definido por el orden parcial definido por el encuentro original, y los dos encuentros coinciden.

En otras palabras, ambos enfoques dan como resultado conceptos esencialmente equivalentes, un conjunto dotado tanto de una relación binaria como de una operación binaria, de modo que cada una de estas estructuras determina a la otra y cumple las condiciones para órdenes parciales o coincidencias, respectivamente.