Función cónica

En matemáticas , las funciones cónicas o funciones de Mehler son funciones que pueden expresarse en términos de funciones de Legendre de primera y segunda especie, ${\displaystyle P_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)}$y${\displaystyle Q_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x).}$

Las funciones${\displaystyle P_{-(1/2)+i\lambda }^{\mu }(x)}$fueron introducidas por Gustav Ferdinand Mehler , en 1868, al expandir en serie la distancia de un punto en el eje de un cono a un punto ubicado en la superficie del cono. Mehler utilizó la notación${\displaystyle K^{\mu }(x)}$para representar estas funciones. Obtuvo representaciones integrales y series de funciones para ellas. También estableció un teorema de adición para las funciones cónicas. Carl Neumann obtuvo una expansión de las funciones.${\displaystyle K^{\mu }(x)}$en términos de los polinomios de Legendre en 1881. Leonhardt introdujo para las funciones cónicas el equivalente de los armónicos esféricos en 1882.

• Dunster, TM (2010), "Funciones cónicas (o de Mehler)" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• GF Mehler " Ueber die Vertheilung der statischen Elektricität in einem von zwei Kugelkalotten begrenzten Körper " Journal für die reine und angewandte Mathematik 68 , 134 (1868).
• GF Mehler " Ueber eine mit den Kugel- und Cilindrofunctionen verwandte Function und ihre Anwendung in der Theorie der Elektricitätsvertheilung " Mathematische Annalen 18 p.  161 (1881).
• C. Neumann " Ueber die Mehler'schen Kegelfunctionen und deren Anwendung auf elektrostatische Probleme " Mathematische Annalen 18 p.  195 (1881).
• G. Leonhardt " Integraleigenschaften der adjungirten Kegelfunctionen " Mathematische Annalen 19 p.  578 (1882).
• Weisstein, Eric W. "Función cónica" . MathWorld .
• Milton Abramowitz e Irene Stegun (eds.) Manual de funciones matemáticas (Dover, 1972) pág. 337
• A. Gil, J. Segura, NM Temme " Cálculo de la función cónica $P^{\mu}_{-1/2+i\tau}(x)$ " SIAM J. Sci. Comput. 31(3), 1716–1741 (2009).
• Tiwari, UN; Pandey, JN La transformada de Mehler-Fock de distribuciones. Rocky Mountain J. Math. 10 (1980), n.º 2, 401–408.