Teorema de inversión de Mellin

En matemáticas , la fórmula de inversión de Mellin (llamada así por Hjalmar Mellin ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) nos indica las condiciones bajo las cuales la transformada inversa de Mellin , o equivalentemente la transformada inversa de Laplace de dos lados , se definen y recuperan la función transformada.

Si${\displaystyle \varphi (s)}$es analítico en la tira${\displaystyle a<\Re (s)<b}$⁠ , y si tiende a cero uniformemente como${\displaystyle \Soy (s)\to \pm \infty }$para cualquier valor real${\displaystyle c}$entre​​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ , con su integral a lo largo de dicha línea convergiendo absolutamente, entonces si

${\displaystyle f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

tenemos eso

${\displaystyle \varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$

Por el contrario, supongamos que${\displaystyle f(x)}$es continua a trozos en los números reales positivos , tomando un valor a medio camino entre los valores límite en cualquier discontinuidad de salto, y supongamos que la integral

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx}$

es absolutamente convergente cuando${\displaystyle a<\Re (s)<b}$Entonces​${\displaystyle f}$es recuperable mediante la transformada inversa de Mellin a partir de su transformada de Mellin .${\displaystyle \varphi }$Estos resultados se pueden obtener relacionando la transformada de Mellin con la transformada de Fourier mediante un cambio de variables y luego aplicando una versión apropiada del teorema de inversión de Fourier . ^{[ 3 ]}

La condición de acotación en${\displaystyle \varphi (s)}$puede reforzarse si${\displaystyle f(x)}$es continuo. Si${\displaystyle \varphi (s)}$es analítico en la tira${\displaystyle a<\Re (s)<b}$, y si${\displaystyle \vert \varphi (s)\vert <K\vert s\vert ^{-2}}$, donde​${\displaystyle K}$Si es una constante positiva, entonces${\displaystyle f(x)}$tal como se define por la integral de inversión existe y es continua; además, la transformada de Mellin de${\displaystyle f}$es${\displaystyle \varphi }$durante al menos${\displaystyle a<\Re (s)<b}$⁠ .

Por otro lado, si estamos dispuestos a aceptar un original${\displaystyle f}$que es una función generalizada , podemos relajar la condición de acotación en ${\displaystyle \varphi }$para simplemente convertirlo en un crecimiento polinomial en cualquier franja cerrada contenida en la franja abierta .${\displaystyle a<\Re (s)<b}$⁠ .

También podemos definir una versión de este teorema en un espacio de Banach . Si llamamos por${\displaystyle L_{\nu,p}(R^{+})}$el espacio L ^p ponderado de funciones de valor complejo${\displaystyle f}$en los reales positivos tales que

${\displaystyle \|f\|=\left(\int _{0}^{\infty }|x^{\nu }f(x)|^{p}\,{\frac {dx}{x}}\right)^{1/p}<\infty }$

donde​${\displaystyle \nu }$y​​${\displaystyle p}$son números reales fijos con${\displaystyle p>1}$⁠ , entonces si${\displaystyle f(x)}$está en${\displaystyle L_{\nu,p}(R^{+})}$con​${\displaystyle 1<p\leq 2}$, entonces ${\displaystyle \varphi (s)}$pertenece a${\displaystyle L_{\nu,q}(R^{+})}$con${\displaystyle q=p/(p-1)}$y

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\nu -i\infty }^{\nu +i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

Aquí se identifican funciones idénticas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero.

Dado que la transformada de Laplace bilateral se puede definir como

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s),}$

Estos teoremas también pueden aplicarse inmediatamente a este caso.

• Mellin transforma
• teorema de inversión de Fourier
• Teorema de Nachbin

• Flajolet, P. ; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums" (PDF) . Theoretical Computer Science . 144 ( 1– 2): 3– 58. doi : 10.1016/0304-3975(95)00002-E .
• McLachlan, NW (1953). Teoría de variables complejas y cálculo de transformadas . Cambridge University Press.
• Polyanin, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Titchmarsh, EC (1948). Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (Segunda  edición). Oxford University Press.
• Yakubovich, SB (1996). Transformaciones de índice . World Scientific. ISBN 981-02-2216-5.
• Zemanian, AH (1968). Transformadas integrales generalizadas . John Wiley & Sons.

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.