Teorema de Menelao

En geometría euclidiana , el teorema de Menelao , llamado así por Menelao de Alejandría , es una proposición sobre los triángulos en geometría plana . Supongamos que tenemos un triángulo △ ABC y una línea transversal que corta a BC, AC, AB en los puntos D, E, F respectivamente, con D, E, F distintos de A, B, C. Una versión débil del teorema establece que

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

donde "| |" denota valor absoluto (es decir, todas las longitudes de segmento son positivas).

El teorema puede reforzarse con una afirmación sobre las longitudes con signo de los segmentos , que proporciona información adicional sobre el orden relativo de los puntos colineales. Aquí, la longitud AB se considera positiva o negativa según si A está a la izquierda o a la derecha de B en alguna orientación fija de la línea; por ejemplo, se define como que tiene un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario. La versión con signo del teorema de Menelao establece ${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

De manera equivalente, ^[1]

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

Algunos autores organizan los factores de manera diferente y obtienen una relación aparentemente diferente ^[2] pero como cada uno de estos factores es el negativo del factor correspondiente anterior, la relación parece ser la misma. $${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$

La inversa también es cierta: si se eligen los puntos D, E, F en BC, AC, AB respectivamente, de modo que D , E, F sean colineales . La inversa suele incluirse como parte del teorema. (Tenga en cuenta que la inversa de la afirmación más débil, sin signo, no es necesariamente cierta). $${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$

El teorema es muy similar al teorema de Ceva en que sus ecuaciones difieren sólo en el signo. Al reescribir cada uno en términos de razones cruzadas , los dos teoremas pueden verse como duales proyectivos . ^[3]

Una prueba dada por John Wellesley Russell utiliza el axioma de Pasch para considerar casos en los que una línea corta o no un triángulo. ^[4] Primero, el signo del lado izquierdo será negativo ya que o bien las tres razones son negativas, el caso en el que la línea DEF no corta el triángulo (ver diagrama), o una es negativa y las otras dos son positivas, el caso en el que DEF corta dos lados del triángulo.

Para comprobar la magnitud, se trazan perpendiculares desde A, B, C hasta la línea DEF y sus longitudes son a, b, c respectivamente. Luego, por semejanza de triángulos, se deduce que $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|.}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{c}}\times {\frac {c}{a}}\right|=1.}$$

Para una forma más simple, aunque menos simétrica, de comprobar la magnitud, ^[5] dibuje CK paralelo a AB donde DEF se encuentra con CK en K. Luego, por triángulos similares y el resultado se deduce eliminando CK de estas ecuaciones. $${\displaystyle \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {BF}}{\overline {CK}}}\right|,\quad \left|{\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}\right|=\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {CK}}}\right|,}$$

El recíproco se sigue como corolario. ^[6] Sean D, E, F en las rectas BC, AC, AB de modo que la ecuación se cumpla. Sea F' el punto donde DE corta a AB . Entonces, por el teorema, la ecuación también se cumple para D, E, F' . Comparando los dos, Pero como máximo un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, de modo que F = F'.$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}\ .}$$

La siguiente demostración ^[7] utiliza sólo nociones de geometría afín , en particular homotecias . Independientemente de que D, E, F sean colineales o no, hay tres homotecias con centros D, E, F que envían respectivamente B a C , C a A y A a B. La composición de las tres es entonces un elemento del grupo de homotecias-traslaciones que fija B , por lo que es una homotecia con centro B , posiblemente con razón 1 (en cuyo caso es la identidad). Esta composición fija la línea DE si y sólo si F es colineal con D, E (ya que las dos primeras homotecias ciertamente fijan DE , y la tercera lo hace sólo si F se encuentra en DE ). Por lo tanto, D, E, F son colineales si y sólo si esta composición es la identidad, lo que significa que la magnitud del producto de las tres razones es 1: que es equivalente a la ecuación dada. $${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}$$

No se sabe con certeza quién descubrió el teorema, pero la exposición más antigua que se conserva aparece en Esféricas de Menelao. En este libro, la versión plana del teorema se utiliza como lema para demostrar una versión esférica del teorema. ^[8]

En el Almagesto , Ptolomeo aplica el teorema a una serie de problemas de astronomía esférica. ^[9] Durante la Edad de Oro islámica , los eruditos musulmanes dedicaron una serie de obras que se dedicaron al estudio del teorema de Menelao, al que se refirieron como "la proposición sobre las secantes" ( shakl al-qatta' ). El cuadrilátero completo se llamaba "figura de las secantes" en su terminología. ^[9] La obra de Al-Biruni , Las claves de la astronomía , enumera una serie de esas obras, que pueden clasificarse en estudios como parte de los comentarios sobre el Almagesto de Ptolomeo como en las obras de al-Nayrizi y al-Khazin donde cada uno demostró casos particulares del teorema de Menelao que llevaron a la regla del seno , ^[10] u obras compuestas como tratados independientes como:

• El "Tratado sobre la figura de las secantes" ( Risala fi shakl al-qatta' ) de Thabit ibn Qurra . ^[9]
• La obra de Husam al-Din al-Salar, Quitando el velo de los misterios de la figura de las secantes (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), también conocida como "El libro sobre la figura de las secantes" ( Kitab al-shakl al-qatta' ) o en Europa como El tratado sobre el cuadrilátero completo . El tratado perdido fue mencionado por Sharaf al-Din al-Tusi y Nasir al-Din al-Tusi . ^[9]
• Obra de al-Sijzi . ^[10]
• Tahdhib de Abu Nasr ibn Irak . ^[10]
• Roshdi Rashed y Athanase Papadopoulos, Las Esféricas de Menelao: Traducción temprana y la versión de al-Mahani'/al-Harawi (Edición crítica de las Esféricas de Menelao a partir de los manuscritos árabes, con comentarios históricos y matemáticos), De Gruyter, Serie: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 páginas. ISBN  978-3-11-057142-4

• Prueba alternativa del teorema de Menelao, de PlanetMath
• Menelao de Ceva
• Ceva y Menelao se encuentran en el camino
• Menelao y Ceva en MathPages
• Demostración del teorema de Menelao por Jay Warendorff. El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Menelao". MathWorld .