Conjeturas de Mersenne

En matemáticas , las conjeturas de Mersenne se refieren a la caracterización de un tipo de números primos llamados primos de Mersenne , es decir, números primos que son una potencia de dos menos uno.

La original, llamada conjetura de Mersenne , fue una afirmación de Marin Mersenne en su Cogitata Physico-Mathematica (1644; véase, por ejemplo, Dickson 1919) de que los números${\displaystyle 2^{n}-1}$eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 (secuencia A109461 en la OEIS ) , y eran compuestos para todos los demás enteros positivos n ≤ 257. Las primeras siete entradas de su lista (${\displaystyle 2^{n}-1}$para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) ya se había demostrado que eran primos por división de prueba antes de la época de Mersenne; ^{[ 1 ]} solo las últimas cuatro entradas eran nuevas afirmaciones de Mersenne. Debido al tamaño de esos últimos números, Mersenne no pudo ni pudo probarlos todos, ni tampoco sus colegas del siglo XVII. Finalmente se determinó, después de tres siglos y la disponibilidad de nuevas técnicas como la prueba de Lucas-Lehmer , que la conjetura de Mersenne contenía cinco errores, a saber, dos entradas son compuestas (las que corresponden a los primos n = 67, 257) y faltan tres primos (los que corresponden a los primos n = 61, 89, 107). La lista correcta para n ≤ 257 es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

Si bien la conjetura original de Mersenne es falsa, puede haber dado lugar a la nueva conjetura de Mersenne .

La nueva conjetura de Mersenne o conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) afirma que para cualquier número natural impar p , si se cumplen dos de las siguientes condiciones, entonces también se cumple la tercera:

1. p = 2k ^± 1 o p = ^4k ± 3 para algún número natural k . ( (secuencia A122834 en la OEIS ) )
2. 2p − ¹ es primo (un primo de Mersenne ). ( (secuencia A000043 en la OEIS ) )
3. (2p ⁺  1 )/3 es primo (un primo de Wagstaff ). ( (secuencia A000978 en la OEIS ) )

Si p es un número compuesto impar, entonces 2p ⁻  1  y ( ^2p  +  1)/3 son ambos compuestos. Por lo tanto, basta con comprobar si son números primos para verificar la veracidad de la conjetura.

Actualmente, se conocen nueve números para los que se cumplen las tres condiciones: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (secuencia A107360 en la OEIS ) . Bateman et al. esperaban que ningún número mayor que 127 satisficiera las tres condiciones, y demostraron que, heurísticamente, ningún número mayor siquiera satisfaría dos de ellas, lo que haría que la nueva conjetura de Mersenne fuera trivialmente cierta.

Si al menos uno de los números dobles de Mersenne MM61 y MM127 es primo, entonces la nueva conjetura de Mersenne sería falsa, ya que tanto M61 como M127 satisfacen la primera condición (ya que son primos de Mersenne en sí mismos), pero (2^M61+1)/3 y (2^M127+1)/3 son compuestos, son divisibles por 1328165573307087715777 y 886407410000361345663448535540258622490179142922169401, respectivamente.

A partir de 2025, se conocen todos los primos de Mersenne hasta 2 ^57885161 − 1, y para ninguno de ellos se cumple la primera condición ni la tercera, excepto para los que acabamos de mencionar. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Los primos que satisfacen al menos una condición son

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (secuencia A120334 en el OEIS )

Nótese que los dos primos para los que la conjetura original de Mersenne es falsa (67 y 257) satisfacen la primera condición de la nueva conjetura (67 = 4 ³ + 3, 257 = 2 ⁸ + 1), pero no los otros dos. 89 y 107, que Mersenne pasó por alto, satisfacen la segunda condición pero no las otras dos. Mersenne pudo haber pensado que 2 ^p − 1 es primo solo si p = 2 ^k ± 1 o p = 4 ^k ± 3 para algún número natural k , pero si pensó que era " si y solo si " habría incluido 61.

La nueva conjetura de Mersenne puede considerarse un intento de rescatar la conjetura de Mersenne, que data de hace siglos y es falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman , John Selfridge coincidió en que la nueva conjetura de Mersenne es «obviamente verdadera», ya que se eligió para que se ajustara a los datos conocidos y los contraejemplos que van más allá de esos casos son extremadamente improbables. Puede considerarse más una observación curiosa que una cuestión abierta que necesite ser demostrada .

Prime Pages demuestra que la nueva conjetura de Mersenne es verdadera para todos los enteros menores o iguales a 10000000 ^{[ 2 ]} al enumerar sistemáticamente todos los primos para los que ya se sabe que se cumple una de las condiciones. De hecho, actualmente se sabe que la nueva conjetura de Mersenne es verdadera para todos los enteros menores o iguales al límite de búsqueda actual de los primos de Mersenne (véase esta página para el límite de búsqueda actual de los primos de Mersenne), también se sabe actualmente que la nueva conjetura de Mersenne es verdadera para todos los enteros menores que 1073741827 que satisfacen la primera condición, y también se sabe actualmente que la nueva conjetura de Mersenne es verdadera para todos los enteros conocidos que satisfacen la segunda o la tercera condición. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Lenstra , Pomerance y Wagstaff han conjeturado que existen infinitos primos de Mersenne y, más precisamente, que el número de primos de Mersenne menores que x se aproxima asintóticamente por

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$^{[ 7 ]}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . En otras palabras, el número de primos de Mersenne con exponente p menor que y es asintóticamente

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}$^{[ 7 ]}

Esto significa que debería haber en promedio alrededor de${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$≈ 5,92 primos p de un número dado de dígitos decimales tales que${\displaystyle M_{p}}$es primo. La conjetura es bastante precisa para los primeros 40 primos de Mersenne (hasta 2 ^20,996,011 ), pero entre 2 ^20,000,000 y 2 ^85,000,000 hay al menos 12, ^{[ 8 ]} en lugar del número esperado que es alrededor de 3.7.

De forma más general, el número de primos p ≤ y tales que${\displaystyle {\frac {a^{p}-b^{p}}{ab}}}$es primo (donde a y b son enteros coprimos , a > 1, − a < b < a , a y b no son ambos potencias r -ésimas perfectas para ningún número natural r  > 1, y −4 ab no es una cuarta potencia perfecta) es asintóticamente

${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).}$

donde m es el mayor entero no negativo tal que a y − b son ambos potencias perfectas de 2 ^m . El caso de los primos de Mersenne es un caso de ( a , b ) = (2, 1). 

• La conjetura de Gillies sobre la distribución de los números de factores primos de los números de Mersenne
• Prueba de primacía de Lucas-Lehmer
• Prueba de primacía de Lucas
• La conjetura de Mersenne de Catalan
• Leyes de Mersenne

• Bateman, PT ; Selfridge, JL ; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "La nueva conjetura de Mersenne". American Mathematical Monthly . 96 (2). Mathematical Association of America: 125– 128. doi : 10.2307 / 2323195 . JSTOR 2323195. MR 0992073 .  
• Dickson, LE (1919). Historia de la teoría de los números . Instituto Carnegie de Washington. pág.  31. OL 6616242M . Reimpreso por Chelsea Publishing, Nueva York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.

• El glosario de los números primos. Nueva conjetura de Mersenne sobre los números primos.