Teoremas de Mertens

El paso principal en la demostración del segundo teorema de Mertens es

${\displaystyle {\begin{aligned}O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p\\=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)\end{aligned}}}$

donde la última igualdad necesita${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$lo cual se deduce de${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$.

Por lo tanto, hemos demostrado que

${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}=\log n+O(1)}$.

Dado que la suma sobre potencias primas con${\displaystyle k\geq 2}$converge, esto implica

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1)}$.

Una suma parcial produce

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+M+O(1/\log n)}$.

En un artículo ^{[ 2 ]} sobre la tasa de crecimiento de la función suma de divisores publicado en 1983, Guy Robin demostró que en el segundo teorema de Mertens la diferencia

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n-M}$

cambia de signo infinitas veces, y que en el tercer teorema de Mertens la diferencia

${\displaystyle \log n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

cambia de signo infinitas veces. Los resultados de Robin son análogos al famoso teorema de Littlewood que establece que la diferencia π( x ) − li( x ) cambia de signo infinitas veces. No se conoce ningún análogo del número de Skewes (una cota superior para el primer número natural x para el cual π( x ) > li( x )) en el caso del segundo y tercer teorema de Mertens.    

Respecto a esta fórmula asintótica, Mertens se refiere en su artículo a "dos fórmulas curiosas de Legendre" ^{[ 1 ]} , siendo la primera el prototipo del segundo teorema de Mertens (y la segunda el prototipo del tercer teorema de Mertens: véanse las primeras líneas del artículo). Recuerda que está contenida en la tercera edición de la "Théorie des nombres" de Legendre (1830; de hecho, ya se menciona en la segunda edición, 1808), y también que Chebyshev demostró una versión más elaborada en 1851. ^{[ 3 ]} Nótese que, ya en 1737, Euler conocía el comportamiento asintótico de esta suma.

Mertens describe diplomáticamente su demostración como más precisa y rigurosa. En realidad, ninguna de las demostraciones anteriores es aceptable según los estándares modernos: los cálculos de Euler involucran el infinito (¡y el logaritmo hiperbólico del infinito, y el logaritmo del logaritmo del infinito!); el argumento de Legendre es heurístico ; y la demostración de Chebyshev, aunque perfectamente válida, utiliza la conjetura de Legendre-Gauss, que no se demostró hasta 1896 y se conoció mejor como el teorema de los números primos .

La demostración de Mertens no recurre a ninguna hipótesis no probada (en 1874), sino únicamente al análisis real elemental . Se produjo 22 años antes de la primera demostración del teorema de los números primos que, por el contrario, se basa en un análisis cuidadoso del comportamiento de la función zeta de Riemann en función de una variable compleja. La demostración de Mertens es notable en ese sentido. De hecho, con la notación moderna produce

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

mientras que el teorema de los números primos (en su forma más simple, sin estimación de error) puede demostrarse que implica ^{[ 4 ].}

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

En 1909, Edmund Landau , utilizando la mejor versión del teorema de los números primos que tenía a su disposición en ese momento, demostró ^{[ 5 ]} que

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$

se cumple; en particular, el término de error es menor que${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$para cualquier entero fijo k . Una simple suma por partes que aprovecha la forma más fuerte conocida del teorema de los números primos mejora esto a

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

para algunos${\displaystyle c>0}$.

De manera similar, una suma parcial muestra que${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+C+o(1)}$está implícito en el PNT.

Una estimación de la probabilidad de${\displaystyle X}$(${\displaystyle X\gg n}$) que no tiene factor${\displaystyle \leq n}$es dado por

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}$

Esto está estrechamente relacionado con el tercer teorema de Mertens, que proporciona una aproximación asintótica de

${\displaystyle P(p\nmid X\ \forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\log n}}}$