Regula falsa

En matemáticas , el método de la falsa posición ( o método de la falsa posición) es una familia de algoritmos que se utilizan para resolver ecuaciones lineales y suavizar ecuaciones no lineales para una única incógnita. En sus ejemplos más antiguos, hallados en escrituras cuneiformes y jeroglíficas , el método sustituye el simple método de ensayo y error por la corrección proporcional de una estimación inicial. En su uso moderno, el método se basa en la interpolación lineal a partir de dos estimaciones diferentes.

Históricamente, se pueden distinguir dos tipos básicos de método de posición falsa: la posición falsa simple y la posición falsa doble .

La falsa posición simple está orientada a resolver problemas que implican proporción directa y puede considerarse un algoritmo primitivo para la división . Dichos problemas pueden escribirse algebraicamente de la forma: determinar x tal que

${\displaystyle ax=b,}$

Si se conocen a y b , el método comienza utilizando un valor de entrada de prueba x ′ y hallando el valor de salida correspondiente b ′ mediante multiplicación: ax ′ = b ′ . La respuesta correcta se halla entonces mediante ajuste proporcional: x = ⁠ b / b ′ ⁠ x ′ .

Como ejemplo, consideremos el problema 26 del papiro de Rhind , que pide una solución de (escrita en notación moderna) la ecuación x + ⁠ x / 4 ⁠ = 15 . Esto se resuelve por falsa posición. ^{[ 1 ]} Primero, supongamos que x = 4 para obtener, a la izquierda, 4 + ⁠ 4 / 4 ⁠ = 5 . Esta suposición es una buena elección ya que produce un valor entero . Sin embargo, 4 no es la solución de la ecuación original, ya que da un valor tres veces menor. Para compensar, multipliquemos x (actualmente establecido en 4) por 3 y sustituyamos de nuevo para obtener 12 + ⁠ 12 / 4 ⁠ = 15 , verificando que la solución es x = 12 .

La doble falsa posición tiene como objetivo resolver problemas más difíciles que se pueden escribir algebraicamente en la forma: determinar x tal que

${\displaystyle f(x)=ax+c=0,}$

si se sabe que

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1})&=b_{1};\\f(x_{2})&=b_{2}.\end{aligned}}}$

La doble falsa posición es matemáticamente equivalente a la interpolación lineal . Al usar un par de entradas de prueba y el par de salidas correspondiente, el resultado de este algoritmo viene dado por, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x={\frac {b_{1}x_{2}-b_{2}x_{1}}{b_{1}-b_{2}}},}$

Se memorizaría y se llevaría a cabo de memoria. De hecho, la regla dada por Robert Recorde en su Ground of Artes (c. 1542) es: ^{[ 2 ]}

Para una función lineal afín ,

${\displaystyle f(x)=ax+c,}$

La doble falsa posición proporciona la solución exacta, mientras que para una función no lineal f proporciona una aproximación que puede mejorarse sucesivamente mediante iteración .

La técnica de la falsa posición simple se encuentra en tablillas cuneiformes de matemáticas babilónicas antiguas y en papiros de matemáticas egipcias antiguas . ^{[ 3 ] [ 1 ]}

La doble falsa posición surgió en la Antigüedad tardía como un algoritmo puramente aritmético. En el antiguo texto matemático chino llamado Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático (九章算術), ^{[ 4 ]} que data de 200 a. C. a 100 d. C., la mayor parte del Capítulo 7 estaba dedicada al algoritmo. Allí, el procedimiento se justificaba con argumentos aritméticos concretos y luego se aplicaba de forma creativa a una amplia variedad de problemas, incluyendo uno que involucraba lo que llamaríamos líneas secantes en una sección cónica . Un ejemplo más típico es este problema de "compra conjunta" que involucra una condición de "exceso y déficit": ^{[ 5 ]}

Ahora se compra un artículo en conjunto; cada uno aporta 8 [monedas], el excedente es 3; cada uno aporta 7, el déficit es 4. Di: Número de personas, precio del artículo, ¿cuánto le queda a cada uno? Respuesta: 7 personas, precio del artículo 53. ^{[ 6 ]}

Entre los siglos IX y X, el matemático egipcio Abu Kamil escribió un tratado, hoy perdido, sobre el uso de la doble falsa posición, conocido como el Libro de los Dos Errores ( Kitāb al-khaṭāʾayn ). El escrito más antiguo que se conserva sobre la doble falsa posición procedente de Oriente Medio es el de Qusta ibn Luqa (siglo X), un matemático árabe de Baalbek , Líbano . Justificó la técnica mediante una demostración geométrica formal de estilo euclidiano . Dentro de la tradición de las matemáticas musulmanas medievales , la doble falsa posición se conocía como hisāb al-khaṭāʾayn ("cálculo por dos errores"). Se utilizó durante siglos para resolver problemas prácticos como cuestiones comerciales y jurídicas (particiones de bienes según las reglas de la herencia coránica ), así como problemas puramente recreativos. El algoritmo se memorizaba a menudo con la ayuda de mnemotecnia , como un verso atribuido a Ibn al-Yasamin y diagramas de balanza explicados por al-Hassar e Ibn al-Banna , los tres matemáticos de origen marroquí . ^{[ 7 ]}

Leonardo de Pisa ( Fibonacci ) dedicó el capítulo 13 de su libro Liber Abaci (1202 d. C.) a explicar y demostrar los usos de la doble falsa posición, denominando al método regulis elchatayn en honor al método al-khaṭāʾayn que había aprendido de fuentes árabes . ^{[ 7 ]} En 1494, Pacioli utilizó el término el cataym en su libro Summa de arithmetica , probablemente tomando el término de Fibonacci. Otros escritores europeos siguieron a Pacioli y a veces proporcionaron una traducción al latín o a la lengua vernácula. Por ejemplo, Tartaglia tradujo la versión latinizada del término de Pacioli a la lengua vernácula «false positions» en 1556. ^{[ 8 ]} El término de Pacioli casi desapareció en las obras europeas del siglo XVI y la técnica recibió varios nombres como «Regla de la Falsa», «Regla de la Posición» y «Regla de la Falsa Posición». Regula Falsi aparece como la versión latinizada de Rule of False ya en 1690. ^{[ 2 ]}

Varios autores europeos del siglo XVI sintieron la necesidad de disculparse por el nombre del método en una ciencia que busca encontrar la verdad. Por ejemplo, en 1568 Humphrey Baker dice: ^{[ 2 ]}

La Regla de la falsedad se llama así no porque enseñe algún engaño o falsedad, sino porque mediante números falsos tomados en todas las circunstancias, enseña a descubrir el número verdadero que se pide, y esta de todas las reglas vulgares que están en práctica es la ^más excelente.

El método de la falsa posición proporciona una solución exacta para funciones lineales, pero técnicas algebraicas más directas lo han reemplazado en este caso. Sin embargo, en análisis numérico , la doble falsa posición se convirtió en un algoritmo de búsqueda de raíces utilizado en técnicas iterativas de aproximación numérica.

Muchas ecuaciones, incluidas la mayoría de las más complejas, solo pueden resolverse mediante aproximación numérica iterativa. Este método consiste en un proceso de ensayo y error, en el que se prueban diversos valores de la incógnita. Dicho proceso puede guiarse calculando, en cada paso, una nueva estimación de la solución. Existen muchas maneras de obtener una estimación calculada, y la regla falsi proporciona una de ellas.

Dada una ecuación, se mueven todos sus términos a un lado de forma que tenga la forma f ( x ) = 0 , donde f es alguna función de la variable desconocida x . Un valor c que satisface esta ecuación, es decir, f ( c ) = 0 , se llama raíz o cero de la función f y es una solución de la ecuación original. Si f es una función continua y existen dos puntos a ₀ y b ₀ tales que f ( a ₀ ) y f ( b ₀ ) tienen signos opuestos, entonces, por el teorema del valor intermedio , la función f tiene una raíz en el intervalo ( a ₀ , b ₀ ) .

Hay muchos algoritmos de búsqueda de raíces que se pueden usar para obtener aproximaciones a dicha raíz. Uno de los más comunes es el método de Newton , pero puede fallar para encontrar una raíz en ciertas circunstancias y puede ser computacionalmente costoso ya que requiere un cálculo de la derivada de la función . Se necesitan otros métodos y una clase general de métodos son los métodos de acotación de dos puntos . Estos métodos proceden produciendo una secuencia de intervalos decrecientes [ a _k , b _k ] , en el k th paso, tales que ( a _k , b _k ) contiene una raíz de f .

El método de la regula falsi (posición falsa)

La tasa de convergencia del método de bisección podría mejorarse utilizando una estimación de la solución diferente.

El método de la falsa regula calcula la nueva estimación de la solución como la intersección con el eje x del segmento de recta que une los extremos de la función en el intervalo de acotación actual. En esencia, la raíz se aproxima reemplazando la función real por un segmento de recta en el intervalo de acotación y luego aplicando la fórmula clásica de doble falsa posición a dicho segmento. ^{[ 9 ]}

Más precisamente, supongamos que en la k -ésima iteración el intervalo de acotación es ( a _k , b _k ) . Construya la recta que pasa por los puntos ( a _k , f ( a _k )) y ( b _k , f ( b _k )) , como se ilustra. Esta recta es una secante o cuerda de la gráfica de la función f . En forma punto-pendiente , su ecuación viene dada por

${\displaystyle yf(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).}$

Ahora elija c _k como la intersección con el eje x de esta línea, es decir, el valor de x para el cual y = 0 , y sustituya estos valores para obtener

${\displaystyle f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.}$

Al resolver esta ecuación para c _k se obtiene:

${\displaystyle c_{k}=b_{k}-f(b_{k}){\frac {b_{k}-a_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}={\frac {a_{k}f(b_{k})-b_{k}f(a_{k})}{f(b_{k})-f(a_{k})}}.}$

Esta última forma simétrica presenta una ventaja computacional al utilizar aritmética de punto flotante : a medida que se aproxima a una solución, a _k y b _k estarán muy próximos y casi siempre tendrán el mismo signo. Dicha resta puede perder precisión por cancelación . Dado que f ( b _k ) y f ( a _k ) siempre tienen signo opuesto, la "resta" en el numerador de la fórmula mejorada es, en efecto, una suma (al igual que la resta en el denominador).

En la iteración k , se calcula el número c _k como se indicó anteriormente y, si f ( a _k ) y f ( c _k ) tienen el mismo signo, se establece a _{k + 1} = c _k y b _{k + 1} = b _k ; de lo contrario, se establece a _{k + 1} = a _k y b _{k + 1} = c _k . Este proceso se repite hasta que la raíz se aproxima con suficiente precisión. La fórmula anterior también se utiliza en el método de la secante .

Para funciones no lineales, una vez que el intervalo de búsqueda se reduce lo suficiente como para que la segunda derivada tenga signo constante en todo el intervalo, un extremo de la búsqueda se fija, mientras que el otro converge a la raíz. Por lo tanto, la mejor estimación de la solución es el último valor calculado de${\displaystyle c_{k}}$Sin embargo, debido a que el intervalo deja de reducirse, la regla de la falsa negación no puede igualar la precisión del método de bisección. En algunos casos, la tasa de convergencia puede ser inferior a la del método de bisección. Generalmente, se prefieren las versiones modificadas de la regla de la falsa negación, ya que pueden corregir estas deficiencias con un coste mínimo.

Dado que los puntos finales iniciales a ₀ y b ₀ se eligen de tal manera que f ( a ₀ ) y f ( b ₀ ) tienen signos opuestos, en cada paso, uno de los puntos finales se acercará a una raíz de f . Si la segunda derivada de f tiene signo constante (por lo que no hay punto de inflexión ) en el intervalo, entonces un punto final (aquel donde f también tiene el mismo signo) permanecerá fijo para todas las iteraciones subsiguientes mientras que el punto final convergente se actualiza. Como resultado, a diferencia del método de bisección , el ancho del corchete no tiende a cero (a menos que el cero esté en un punto de inflexión alrededor del cual sign( f ) = −sign( f " ) ). Como consecuencia, la aproximación lineal a f ( x ) , que se usa para elegir la posición falsa, no mejora tan rápidamente como podría.

Un ejemplo de este fenómeno es la función

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+3x}$

en el corchete inicial [ − 1,1]. El extremo izquierdo, − 1, nunca se reemplaza (no cambia al principio y después de las tres primeras iteraciones, f " es negativo en el intervalo) y por lo tanto el ancho del corchete nunca cae por debajo de 1. Por lo tanto, el extremo derecho se aproxima a 0 a una tasa lineal (el número de dígitos exactos crece linealmente, con una tasa de convergencia de 2/3).

Para funciones discontinuas, este método solo puede encontrar un punto donde la función cambia de signo (por ejemplo, en x = 0 para 1/ x o la función signo ). Además de los cambios de signo, también es posible que el método converja a un punto donde el límite de la función sea cero, incluso si la función no está definida (o tiene otro valor) en ese punto (por ejemplo, en x = 0 para la función dada por f ( x ) = abs( x ) − x² cuando x ≠ 0 y por f (0) = 5 , comenzando con el intervalo [-0.5, 3.0]). Es matemáticamente posible con funciones discontinuas que el método no converja a un límite cero o ^a un cambio de signo, pero esto no es un problema en la práctica, ya que requeriría una secuencia infinita de coincidencias para que ambos extremos se quedaran atascados convergiendo a discontinuidades donde el signo no cambia, por ejemplo en x = ±1 en

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.}$

El método de bisección evita este hipotético problema de convergencia.

Aunque el método de la falsa agrupación siempre converge, generalmente mucho más rápido que el de la bisección, existen situaciones que pueden ralentizar su convergencia, a veces hasta un punto prohibitivo. Este problema no es exclusivo de la falsa agrupación : aparte de la bisección, todos los métodos numéricos de resolución de ecuaciones pueden presentar problemas de convergencia lenta o nula bajo ciertas condiciones. En ocasiones, el método de Newton y el método de la secante divergen en lugar de converger, y a menudo lo hacen bajo las mismas condiciones que ralentizan la convergencia de la falsa agrupación .

Pero, aunque regula falsi es uno de los mejores métodos, e incluso en su versión original sin mejoras a menudo sería la mejor opción; por ejemplo, cuando no se utiliza el método de Newton porque la derivada es prohibitivamente lenta de evaluar, o cuando Newton y las sustituciones sucesivas no han convergido.

El modo de fallo de la regla falsa es fácil de detectar: ​​se retiene el mismo punto final dos veces seguidas. El problema se soluciona fácilmente eligiendo una posición falsa modificada, seleccionada para evitar ralentizaciones debidas a esas situaciones desfavorables relativamente inusuales. Se han propuesto varias mejoras a la regla falsa ; dos de ellas, el algoritmo de Illinois y el algoritmo de Anderson-Björk, se describen a continuación.

Al resolver una ecuación, o solo unas pocas, con una computadora, el método de bisección es una opción adecuada. Si bien la bisección no es tan rápida como otros métodos —cuando funcionan correctamente y no presentan problemas—, garantiza la convergencia a un ritmo útil, reduciendo aproximadamente a la mitad el error con cada iteración , lo que permite obtener una precisión de aproximadamente una cifra decimal cada tres  iteraciones.

Para el cálculo manual con calculadora, se suele preferir el uso de métodos más rápidos, y estos generalmente, aunque no siempre, convergen más rápido que el método de bisección. Sin embargo, una computadora, incluso utilizando la bisección, resolverá una ecuación con la precisión deseada con tanta rapidez que no hay necesidad de ahorrar tiempo utilizando un método menos fiable; de ​​hecho, cualquier método es menos fiable que la bisección.

Una excepción sería si el programa informático tuviera que resolver ecuaciones muchísimas veces durante su ejecución. En ese caso, el tiempo ahorrado gracias a los métodos más rápidos podría ser significativo.

Entonces, un programa podría comenzar con el método de Newton y, si este no converge, cambiar a la regla de la falsa agrupación , tal vez en una de sus versiones mejoradas, como las versiones de Illinois o Anderson-Björck. O, si incluso esta no converge tan bien como lo haría la bisección, cambiar a la bisección, que siempre converge a un ritmo útil, aunque no espectacular.

Cuando el cambio en y es muy pequeño y x también varía muy poco, es muy probable que el método de Newton no presente problemas y converja. Por lo tanto, en esas condiciones favorables, se podría recurrir al método de Newton si se deseara un error mínimo y una convergencia muy rápida.

En el capítulo  7 de Los Nueve Capítulos , un problema de búsqueda de raíces se puede traducir al lenguaje moderno de la siguiente manera:

Problema de exceso y déficit n.° 11:

• Un junco creció 3 unidades en su  primer día. Al final de cada día, se observa que la planta ha crecido 1/2 del crecimiento del día anterior .
• Una planta de tipo club-rush creció 1 unidad en su primer día. Al final de cada día, la planta ha crecido el doble  que el crecimiento del día anterior.
• Encuentra el tiempo [en días fraccionarios] que tarda el junco en alcanzar la misma altura que el junco común.

Respuesta:${\displaystyle \left(2+{\frac {6}{13}}\right)}$días; la altura es${\displaystyle \left(4+{\frac {8}{10}}+{\frac {6}{130}}\right)}$unidades.

Explicación:

• Supongamos que es el día  2. El junco de maza es 1,5  unidades más bajo que el junco toro.
• Supongamos que es el día  3. El junco de majuelo es 1,75  unidades más alto que el junco común. ∎

Para entender esto, modelaremos las alturas de las plantas en el día n ( n = 1, 2, 3...) según una serie geométrica .

${\displaystyle B(n)=\sum _{i=1}^{n}3\cdot {\frac {1}{2^{i-1}}}\quad }$Espadaña

${\displaystyle C(n)=\sum _{i=1}^{n}1\cdot 2^{i-1}\quad }$Fiebre de clubes

Para una mejor notación, dejemos${\displaystyle \ k=i-1~.}$Reescribe la serie de altura de la planta${\displaystyle \ B(n),\ C(n)\ }$en términos de k e invocar la fórmula para una serie geométrica.

${\displaystyle \ B(n)=\sum _{k=0}^{n-1}3\cdot {\frac {1}{2^{k}}}=3\left({\frac {1-({\tfrac {1}{2}})^{n-1+1}}{1-{\tfrac {1}{2}}}}\right)=6\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)}$

${\displaystyle \ C(n)=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}={\frac {~~1-2^{n}}{\ 1-2\ }}=2^{n}-1\ }$

Ahora, use regula falsi para encontrar la raíz de${\displaystyle \ (C(n)-B(n))\ }$

${\displaystyle \ F(n):=C(n)-B(n)={\frac {6}{2^{n}}}+2^{n}-7\ }$

Raíz estimada (1.ª iteración):

${\displaystyle \ {\hat {x}}~=~{\frac {~x_{1}F(x_{2})-x_{2}F(x_{1})~}{F(x_{2})-F(x_{1})}}~=~{\frac {~2\times 1.75+3\times 1.5~}{1.75+1.5}}~=~{\frac {32}{13}}~\approx ~2.4615\ }$

Para encontrar la raíz exacta, dejemos${\displaystyle y=2^{n}}$para que busquemos resolver${\displaystyle 6/y+y-7~=~0}$Multiplicar por${\displaystyle y}$para obtener la ecuación cuadrática${\displaystyle y^{2}-7y+6=0}$que tiene raíces${\displaystyle y=0}$(lo cual es espurio aquí) y${\displaystyle y=6}$(la raíz que queremos). Por lo tanto${\displaystyle n~=~\log _{2}(6)~\approx ~2.5849625}$y nuestra estimación tiene un margen de error del 4,78%.

Este programa de ejemplo, escrito en el lenguaje de programación C , es un ejemplo del algoritmo de Illinois. Para encontrar el número positivo x donde cos( x ) = x ³ , la ecuación se transforma en una forma de búsqueda de raíces f ( x ) = cos( x ) − x ³ = 0 .

#include <stdio.h> #include <math.h>double f ( double x ) { return cos ( x ) - x * x * x ; } /* a,b: puntos extremos de un intervalo donde buscamos  e: mitad del límite superior para el error relativo  m: número máximo de iteraciones */ double falsi_method ( double ( * f )( double ), double a , double b , double e , int m ) { double c , fc ; int n , side = 0 ; /* valores iniciales en los puntos extremos del intervalo */ double fa = f ( a ); double fb = f ( b );para ( n = 0 ; n < m ; n ++ ) { c = ( fa * b - fb * a ) / ( fa - fb ); si ( fabs ( b - a ) < e * fabs ( b + a )) break ; fc = f ( c );if ( fc * fb > 0 ) { /* fc y fb tienen el mismo signo, copiamos c a b */ b = c ; fb = fc ; if ( side == -1 ) fa /= 2 ; side = -1 ; } else if ( fa * fc > 0 ) { /* fc y fa tienen el mismo signo, copiamos c a a */ a = c ; fa = fc ; if ( side == + 1 ) fb /= 2 ; side = + 1 ; } else { /* fc * f_ muy pequeño (parece cero) */ break ; } } return c ; }int main ( void ) { printf ( "%0.15f \n " , falsi_method ( & f , 0 , 1 , 5E-15 , 100 )); return 0 ; }

Tras ejecutar este código, la respuesta final es aproximadamente 0,865474033101614.

• Método ITP , una variación con convergencia superlineal y minmax garantizada.
• El método de Ridders , otro método para encontrar raíces basado en el método de la falsa posición.
• El método de Brent

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Análisis numérico (7.ª  ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• Sigler, LE (2002). El Liber Abaci de Fibonacci, el libro de cálculo de Leonardo Pisano . Springer-Verlag. ISBN 0-387-40737-5.
• Roberts, AM (2020). "Filología matemática en el Tratado sobre la doble falsa posición en un manuscrito árabe de la Universidad de Columbia" . Encuentros filológicos . 5 ( 3–4 ): 3–4 . doi : 10.1163/24519197-BJA10007 . S2CID 229538951 . (Sobre un tratado inédito acerca de la doble falsa posición en un manuscrito árabe medieval).