Método de residuos ponderados por la media

En matemáticas aplicadas , los métodos de residuos ponderados por la media (MWR, por sus siglas en inglés) son métodos para resolver ecuaciones diferenciales . Se supone que las soluciones de estas ecuaciones diferenciales se aproximan bien mediante una suma finita de funciones de prueba. $\phi _{i}$ En estos casos, se utiliza el método de residuos ponderados seleccionado para hallar el valor del coeficiente de cada función de prueba correspondiente. Los coeficientes resultantes se calculan para minimizar el error entre la combinación lineal de las funciones de prueba y la solución real, en una norma elegida.

Notación de esta página

A menudo es muy importante aclarar primero la notación utilizada antes de presentar cómo se ejecuta este método para evitar confusiones.

$u(x)$ Se utilizará para denotar la solución de la ecuación diferencial a la que se está aplicando el método MWR.
La resolución de la ecuación diferencial mencionada se logrará estableciendo alguna función. $R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)$ Se denominó "función residual" a cero.
Cada método de residuos ponderados por la media implica algunas "funciones de prueba" que se denotarán por $w_{i}$ .
Los grados de libertad se denotarán por $a_{i}$ .
Si la forma supuesta de la solución a la ecuación diferencial $R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0$ Si es lineal (en los grados de libertad), entonces las funciones base utilizadas en dicha forma se denotarán por $\phi _{i}$ .

Enunciado matemático del método

El método de residuos ponderados por la media resuelve $R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right)=0$ imponiendo que los grados de libertad $a_{i}$ son tales que:

\langle R\left(x,u,u_{x},\ldots ,{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\right),w_{i}\rangle =0

está satisfecho. Donde el producto interno $\langle f,g\rangle$ es el producto interno de la función estándar con respecto a alguna función de ponderación $r(x)$ que se determina generalmente por el conjunto de funciones base o arbitrariamente según la función de ponderación más conveniente. Por ejemplo, cuando el conjunto base son solo los polinomios de Chebyshev de primera especie, la función de ponderación suele ser $r(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ porque los productos internos se pueden calcular más fácilmente utilizando una transformación de Chebyshev .

Además, todos estos métodos tienen en común que imponen condiciones de contorno ya sea imponiendo que las funciones base (en el caso de una combinación lineal) impongan individualmente las condiciones de contorno en el BVP original (Esto solo funciona si las condiciones de contorno son homogéneas, sin embargo, es posible aplicarlo a problemas con condiciones de contorno no homogéneas dejando $u(x)=v(x)+L(x)$ y sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial original e imponiendo condiciones de contorno homogéneas a la nueva solución que se busca para encontrar u(x), que es v(x), donde L(x) es una función que satisface las condiciones de contorno impuestas a u que se conocen), o imponiendo explícitamente el contorno eliminando n filas de la matriz que representa el problema discretizado, donde n se refiere al orden de la ecuación diferencial, y sustituyéndolas por otras que representan las condiciones de contorno.

Elección de funciones de prueba

La elección de la función de prueba, como se mencionó anteriormente, depende del método específico utilizado (dentro del término general de métodos de residuos ponderados por la media). A continuación, se presenta una lista de los métodos de residuos ponderados por la media más utilizados y sus funciones de prueba correspondientes, aproximadamente según su popularidad:

El método de Galerkin , que utiliza las funciones base mismas como funciones de prueba o, en el caso más general de una forma supuesta no lineal (donde la no linealidad está en los grados de libertad) de la solución, el método de Galerkin utiliza las funciones de prueba: $w_{i}={\frac {\partial u}{\partial a_{i}}}$
El método pseudoespectral que utiliza las funciones delta de Dirac centradas en un conjunto de puntos x discretos. $x_{i}$ y equivale simplemente a establecer la función de residuo a cero en esos puntos x.
El método de mínimos cuadrados utiliza las siguientes funciones de prueba: $w_{i}={\frac {\partial R}{\partial a_{i}}}$ . Este método tiene el efecto de minimizar el cuadrado de la norma L2 de la función de residuo (es decir, $\|{R}\|^{2}$ ) con respecto a los grados de libertad $a_{i}$ .
El método de los momentos utiliza un conjunto simple de funciones de prueba. $x^{i}$ y rara vez se implementa cuando se requieren altos grados de precisión debido a problemas computacionales asociados con la inversión de la matriz de Hilbert .

Referencias

Introducción a las Matemáticas Aplicadas, Wellesley-Cambridge Press (1986).