Medida exterior métrica

En matemáticas , una medida externa métrica es una medida externa μ definida en los subconjuntos de un espacio métrico dado ( X , d ) tal que 

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

para cada par de subconjuntos A y B de X separados positivamente .

Sea τ  :  Σ  →  [0,  +∞] una función de conjunto definida en una clase Σ de subconjuntos de X que contienen el conjunto vacío ∅, tal que τ (∅)  =  0. Se puede demostrar que la función de conjunto μ definida por

${\displaystyle \mu (E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }(E),}$

dónde

${\displaystyle \mu _{\delta }(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\tau (C_{i})\right|C_{i}\in \Sigma ,\operatorname {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\},}$

no es solo una medida externa, sino también una medida externa métrica. (Algunos autores prefieren tomar un supremo sobre δ > 0 en lugar de un límite cuando δ → 0; ambos dan el mismo resultado, ya que μ _δ ( E ) aumenta a medida que δ disminuye).    

Para la función τ se puede usar

${\displaystyle \tau (C)=\operatorname {diam} (C)^{s},\,}$

donde s es una constante positiva; esta τ se define en el conjunto potencia de todos los subconjuntos de X. Por el teorema de extensión de Carathéodory , la medida exterior puede promoverse a una medida completa; la medida asociada μ es la medida de Hausdorff s -dimensional . De manera más general, se podría usar cualquier llamada función de dimensión .

Esta construcción es muy importante en la geometría fractal , ya que así se obtiene la medida de Hausdorff . La medida de empaquetamiento es superficialmente similar, pero se obtiene de una manera diferente: empaquetando bolas dentro de un conjunto, en lugar de cubrirlo.

Sea μ una medida exterior métrica en un espacio métrico ( X , d ). 

• Para cualquier secuencia de subconjuntos A _n , n  ∈ N , de X con 

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},}$

y de tal manera que A _n y A  \ A _{n +1} estén positivamente separados, se deduce que 

${\displaystyle \mu (A)=\sup _ {n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n}).}$

• Todos los subconjuntos d - cerrados E de X son μ- medibles en el sentido de que satisfacen la siguiente versión del criterio de Carathéodory: para todos los conjuntos A y B con A  ⊆ E y B ⊆ X \ E ,     

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

• En consecuencia, todos los subconjuntos de Borel de X —aquellos que se pueden obtener como uniones, intersecciones y diferencias contables de conjuntos abiertos/cerrados— son μ - medibles.

• Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Cambridge Mathematical Library (Tercera  ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp.  xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.