Proyección métrica

En matemáticas, una proyección métrica es una función que asigna cada elemento de un espacio métrico al conjunto de puntos más cercanos a ese elemento en algún subespacio fijo. ^{[1] [2]}

Formalmente, sea X un espacio métrico con métrica de distancia d y sea M un subconjunto fijo de X. Entonces, la proyección métrica asociada con M , denotada p _M , es la siguiente función de valor conjunto de X a M :

${\displaystyle p_{M}(x)=\arg \min _{y\in M}d(x,y)}$

Equivalentemente:

${\displaystyle p_{M}(x)=\{y\en M:d(x,y)\leq d(x,y')\para todo y'\en M\}=\{y\en M:d(x,y)=d(x,M)\}}$

Los elementos del conjunto también se denominan elementos de mejor aproximación . Este término proviene de la optimización restringida : queremos encontrar un elemento más cercano a x , bajo la restricción de que la solución debe ser un subconjunto de M. La función p _M también se denomina operador de mejor aproximación . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \arg \min_{y\in M}d(x,y)}$

En general, p _M es un conjunto de valores, ya que para cada x , puede haber muchos elementos en M que tengan la misma distancia más cercana a x . En el caso especial en el que p _M es univaluado, el conjunto M se denomina conjunto de Chebyshev . A modo de ejemplo, si ( X , d ) es un espacio euclidiano (R ⁿ con la distancia euclidiana ), entonces un conjunto M es un conjunto de Chebyshev si y solo si es cerrado y convexo . ^[3]

Si M es un conjunto compacto no vacío , entonces la proyección métrica p _M es semicontinua superior , pero podría no ser semicontinua inferior. Pero si X es un espacio normado y M es un conjunto de Chebyshev de dimensión finita, entonces p _M es continua. ^{[ cita requerida ]}

Además, si X es un espacio de Hilbert y M es cerrado y convexo, entonces p _M es Lipschitz continuo con constante de Lipschitz 1. ^{[ cita requerida ]}

Las proyecciones métricas se utilizan tanto para investigar cuestiones teóricas en el análisis funcional como para métodos de aproximación prácticos. ^[4] También se utilizan en la optimización restringida . ^[5]

• ¿Las proyecciones sobre conjuntos convexos siempre disminuyen las distancias?