Micromagnetismo

La energía de intercambio es una descripción fenomenológica continua de la interacción de intercambio cuántico-mecánica . Se escribe como: ^{[ 1 ] [ 13 ] : 101–104}

${\displaystyle E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V}$

dónde${\displaystyle A}$es la constante de intercambio ;${\displaystyle m_{x}}$,${\displaystyle m_{y}}$y${\displaystyle m_{z}}$son los componentes de${\displaystyle \mathbf {m} }$; y la integral se realiza sobre el volumen de la muestra.

La energía de intercambio tiende a favorecer configuraciones donde la magnetización varía lentamente a lo largo de la muestra. Esta energía se minimiza cuando la magnetización es perfectamente uniforme. ^{[ 1 ] : 135} El término de intercambio es isotrópico, por lo que cualquier dirección es igualmente aceptable. ^{[ 1 ] : 83}

La anisotropía magnética surge debido a una combinación de la estructura cristalina y la interacción espín-órbita . ^{[ 1 ] : 84} En general, se puede escribir como:

${\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}$

dónde${\displaystyle F_{\text{anis}}}$, la densidad de energía de anisotropía, es una función de la orientación de la magnetización. Direcciones de energía mínima para${\displaystyle F_{\text{anis}}}$se denominan ejes fáciles .

La simetría de inversión temporal garantiza que${\displaystyle F_{\text{anis}}}$es una función par de${\displaystyle \mathbf {m} }$. ^{[ 13 ] : 108} La función más simple de este tipo es

${\displaystyle F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )=-K_{1}m_{z}^{2},}$

donde K ₁ se denomina constante de anisotropía . En esta aproximación, denominada anisotropía uniaxial , el eje fácil es el${\displaystyle z}$eje. ^{[ 1 ] : 85}

La energía de anisotropía favorece las configuraciones magnéticas en las que la magnetización está alineada en todas partes a lo largo de un eje de fácil magnetización.

La energía de Zeeman es la energía de interacción entre la magnetización y cualquier campo externo aplicado. Se escribe como: ^{[ 1 ] : 174 [ 13 ] : 109}

${\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}$

dónde${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{a}}}$es el campo aplicado y${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad al vacío .

La energía de Zeeman favorece la alineación de la magnetización en paralelo al campo aplicado.

El campo desmagnetizante es el campo magnético creado por la muestra magnética sobre sí misma. La energía asociada es: ^{[ 13 ] : 110}

${\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}$

dónde${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}}$es el campo desmagnetizante . El campo satisface

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}$

y por lo tanto se puede escribir como el gradiente de un potencial${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla U}$Este campo depende de la configuración magnética misma, y ​​se puede encontrar resolviendo

${\displaystyle \nabla ^{2}U_{\text{in}}=\nabla \cdot \mathbf {M} }$

dentro del cuerpo y

${\displaystyle \nabla ^{2}U_{\text{out}}=0}$

fuera del cuerpo. Estas se complementan con las condiciones de contorno en la superficie del cuerpo.

${\displaystyle U_{\text{out}}=U_{\text{in}},\quad {\frac {\partial U_{\text{in}}}{\partial \mathbf {n} }}-{\frac {\partial U_{\text{out}}}{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {M} \cdot \mathbf {n} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {n} }$es la unidad normal a la superficie. Además, el potencial satisface la condición de que${\displaystyle |rU|}$y${\displaystyle |r^{2}\nabla U|}$permanecer limitados como${\displaystyle r\to \infty }$. ^{[ 1 ] : 109–111} La solución de estas ecuaciones (cf. magnetostática ) es:

${\displaystyle U(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {M} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} V+\int _{\partial V}{\frac {\mathbf {n} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} S\right).}$

La cantidad${\displaystyle -\nabla \cdot \mathbf {M} }$a menudo se la denomina densidad de carga volumétrica y${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {n} }$se denomina densidad de carga superficial . ^{[ 1 ] : 125–126 [ 13 ] : 110 [ 6 ] : 441} La energía del campo desmagnetizante favorece las configuraciones magnéticas que minimizan las cargas magnéticas. En particular, en los bordes de la muestra, la magnetización tiende a ser paralela a la superficie. En la mayoría de los casos no es posible minimizar este término de energía al mismo tiempo que los demás. El equilibrio estático es entonces un compromiso que minimiza la energía magnética total, aunque puede que no minimice individualmente ningún término en particular.

Esta interacción surge cuando un cristal carece de simetría de inversión, lo que favorece que la magnetización sea perpendicular a sus vecinos. Compite directamente con la energía de intercambio. Se modela con la contribución de energía ^{[ 14 ].}

$${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}\mathbf {D}$$ :(\nabla \mathbf {m} \times \mathbf {m} )}

dónde${\displaystyle \mathbf {D} }$es el tensor de espiralización, que depende de la clase de cristal. ^{[ 15 ]} Para DMI a granel,

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D\mathbf {m} \cdot (\nabla \times \mathbf {m} ),}$

y para una película delgada en el${\displaystyle x-y}$La DMI interfacial plana toma la forma

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D(\mathbf {m} \cdot \nabla m_{z}-m_{z}\nabla \cdot \mathbf {m} ),}$

y para materiales con clase de simetría${\displaystyle D_{2d}}$la contribución energética es

${\displaystyle E_{\text{DMI}}=\int _{V}D\mathbf {m} \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}\times {\hat {x}}-{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}\times {\hat {y}}\right).}$

Este término es importante para la formación de skyrmiones magnéticos .

La energía magnetoelástica describe el almacenamiento de energía debido a las distorsiones elásticas de la red cristalina. Puede despreciarse si se ignoran los efectos de acoplamiento magnetoelástico. Existe una distorsión local preferencial del sólido cristalino asociada con el director de magnetización.${\displaystyle \mathbf {m} }$Para un modelo simple de pequeñas deformaciones , se puede suponer que esta deformación es isocórica y completamente isotrópica en la dirección lateral, lo que da como resultado el ansatz desviador ^{[ 13 ] : 128 [ 16 ] : 250–251}$${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )={\frac {3}{2}}\lambda _{\text{s}}\,\left[\mathbf {m} \otimes \mathbf {m} -{\frac {1}{3}}\mathbf {1} \right]}$$ donde el parámetro del material${\displaystyle \lambda _{\text{s}}}$es la constante magnetostrictiva isotrópica. Se supone que la densidad de energía elástica es una función de las deformaciones elásticas que producen tensión.${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } _{e}:=\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}}$. Una forma cuadrática para la energía magnetoelástica es ^{[ 13 ] : 138}$${\displaystyle E_{\text{m-e}}={\frac {1}{2}}\int _{V}[\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )]:\mathbb {C}$$ :[\mathbf {\varepsilon } -\mathbf {\varepsilon } _{0}(\mathbf {m} )]} donde${\displaystyle \mathbb {C}$ :=\lambda \mathbf {1} \otimes \mathbf {1} +2\mu \mathbb {I} } es el tensor de elasticidad de cuarto orden. Aquí se supone que la respuesta elástica es isotrópica (basada en las dos constantes de Lamé).${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$). Teniendo en cuenta la longitud constante de${\displaystyle \mathbf {m} }$, obtenemos la representación basada en invariantes ^{[ 17 ]}$${\displaystyle E_{\text{m-e}}=\int _{V}{\frac {\lambda }{2}}{\mbox{tr}}^{2}[\mathbf {\varepsilon } ]+\mu \,{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } ^{2}]-3\mu E{\big \{}{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } (\mathbf {m} \otimes \mathbf {m} )]-{\frac {1}{3}}{\mbox{tr}}[\mathbf {\varepsilon } ]{\big \}}.}$$

Este término energético contribuye a la magnetostricción .

El campo efectivo es el campo local que siente la magnetización. Sin embargo, los únicos campos reales son el campo magnetostático y el campo aplicado. ^{[ 12 ]} Se puede describir informalmente como la derivada de la densidad de energía magnética con respecto a la orientación de la magnetización, como en:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}$

donde d E /d V es la densidad de energía. En términos variacionales , un cambio d m de la magnetización y el cambio asociado d E de la energía magnética se relacionan mediante:

${\displaystyle \mathrm {d} E=-\mu _{0}M_{s}\int _{V}(\mathrm {d} \mathbf {m} )\cdot \mathbf {H} _{\text{eff}}\,\mathrm {d} V}$

Dado que m es un vector unitario , d m siempre es perpendicular a m . Entonces, la definición anterior deja sin especificar el componente de H _eff que es paralelo a m . ^{[ 12 ]} Esto generalmente no es un problema, ya que este componente no tiene efecto en la dinámica de magnetización .

A partir de la expresión de las diferentes contribuciones a la energía magnética, se puede encontrar que el campo efectivo es (excluyendo las contribuciones DMI y magnetoelásticas): ^{[ 1 ] : 178}

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}$

Esta es la ecuación de movimiento de la magnetización. Describe una precesión de Larmor de la magnetización alrededor del campo efectivo, con un término de amortiguación adicional que surge del acoplamiento del sistema magnético con el entorno. La ecuación se puede escribir en la llamada forma de Gilbert (o forma implícita) como: ^{[ 1 ] : 181 [ 6 ] : 462}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la relación giromagnética del electrón y${\displaystyle \alpha }$la constante de amortiguación de Gilbert.

Se puede demostrar que esto es matemáticamente equivalente a la siguiente forma de Landau-Lifshitz (o explícita): ^{[ 18 ] [ 1 ] : 181–182}

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}}),}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de amortiguación de Gilbert, que caracteriza la rapidez con la que el término de amortiguación extrae energía del sistema (${\displaystyle \alpha }$ = 0, sin amortiguación, precesión permanente). Estas ecuaciones preservan la restricción${\displaystyle |\mathbf {m} |=1}$, como ^{[ 1 ] : 181}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\mathbf {m} |^{2}=2\mathbf {m} \cdot {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=0.}$

A${\displaystyle 180^{\circ }}$La pared de dominio de Bloch se puede describir utilizando la micromagnética. Para ello, asumimos que para valores negativos y positivos muy grandes${\displaystyle x}$, los puntos de magnetización apuntan en la dirección z positiva y negativa respectivamente. Además, describimos la dirección de magnetización en términos del ángulo de magnetización con la dirección z positiva.${\displaystyle z}$dirección${\displaystyle \theta (x)}$y suponer que su componente a lo largo${\displaystyle x}$es cero. ^{[ 24 ] : 240–241}

Luego optimizamos la energía libre por unidad de área de la pared del dominio.

${\displaystyle E=\int \left[A\left({\frac {d\theta }{dx}}\right)^{2}+K\sin ^{2}\theta \right]\,dx,}$

donde el primer término es la energía de intercambio y el segundo término corresponde a la anisotropía magnetocristalina (con un valor positivo de${\displaystyle K}$). Esta optimización se puede realizar con la ecuación de Euler-Lagrange , que da ^{[ 24 ] : 241}

${\displaystyle {\frac {\partial (K\sin ^{2}\theta )}{\partial \theta }}-2A{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}=0.}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\sqrt {\frac {K}{A}}}\sin \theta ,}$

que se puede resolver${\displaystyle \theta }$dar

${\displaystyle \theta (x)=2\arctan \left(\exp \left({\frac {\pi x}{\delta _{w}}}\right)\right),}$

dónde${\displaystyle \delta _{w}=\pi {\sqrt {\frac {A}{K}}}}$es el ancho característico de la pared de dominio. ^{[ 24 ] : 242}