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Articulo de referencia

Microtira

Sección transversal de la geometría de la microcinta. El conductor A está separado del plano de tierra D por el sustrato dieléctrico C. El dieléctrico superior B suele ser aire....

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Sección transversal de la geometría de la microcinta. El conductor A está separado del plano de tierra D por el sustrato dieléctrico C. El dieléctrico superior B suele ser aire.

La microcinta es un tipo de línea de transmisión eléctrica que se puede fabricar con cualquier tecnología, donde un conductor está separado de un plano de tierra por una capa dieléctrica conocida como sustrato . Las líneas de microcinta se utilizan para transmitir señales de frecuencia de microondas .

Las tecnologías de fabricación típicas son las placas de circuito impreso (PCB), la alúmina recubierta con una capa dieléctrica o, a veces, el silicio u otras tecnologías similares. Los componentes de microondas, como antenas , acopladores , filtros , divisores de potencia , etc., pueden fabricarse a partir de microcintas, existiendo todo el dispositivo como el patrón de metalización sobre el sustrato. Por lo tanto, la microcinta es mucho menos costosa que la tecnología de guía de ondas tradicional , además de ser mucho más ligera y compacta. La microcinta fue desarrollada por los laboratorios ITT como competidora de la línea de transmisión (publicada por primera vez por Grieg y Engelmann en las actas del IRE de diciembre de 1952 ). [ 1 ]

Las desventajas de la microcinta en comparación con la guía de ondas son su menor capacidad de manejo de potencia y mayores pérdidas. Además, a diferencia de la guía de ondas, la microcinta generalmente no está encapsulada, por lo que es susceptible a la diafonía y a la radiación no deseada.

Para reducir costes, los dispositivos de microcinta pueden fabricarse sobre un sustrato FR-4 estándar (PCB estándar). Sin embargo, a menudo se observa que las pérdidas dieléctricas en FR-4 son demasiado elevadas a frecuencias de microondas y que la constante dieléctrica no se controla con suficiente precisión. Por estos motivos, se suele utilizar un sustrato de alúmina . Desde la perspectiva de la integración monolítica, las microcintas con tecnologías de circuitos integrados/ circuitos integrados monolíticos de microondas podrían ser viables, aunque su rendimiento podría verse limitado por la(s) capa(s) dieléctrica(s) y el grosor del conductor disponibles.

Las líneas microstrip también se utilizan en diseños de PCB digitales de alta velocidad, donde las señales deben enrutarse de una parte del conjunto a otra con una distorsión mínima y evitando una alta diafonía y radiación.

La microcinta es una de las muchas formas de línea de transmisión planar ; otras incluyen la línea de tira y la guía de onda coplanar , y es posible integrar todas ellas en el mismo sustrato.

Una microcinta diferencial —un par de líneas de microcinta con señal balanceada— se usa frecuentemente para señales de alta velocidad como relojes de SDRAM DDR2 , líneas de datos USB de alta velocidad , líneas de datos PCI Express , líneas de datos LVDS , etc., a menudo todas en la misma PCB. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] La mayoría de las herramientas de diseño de PCB admiten dichos pares diferenciales . [ 5 ] [ 6 ]

Inhomogeneidad

La onda electromagnética que transporta una línea microstrip se propaga parcialmente en el sustrato dieléctrico y parcialmente en el aire que lo rodea. En general, la constante dieléctrica del sustrato es diferente (y mayor) que la del aire, por lo que la onda viaja en un medio no homogéneo . En consecuencia, la velocidad de propagación se sitúa entre la velocidad de las ondas de radio en el sustrato y la velocidad de las ondas de radio en el aire. Este comportamiento se describe comúnmente mediante la constante dieléctrica efectiva de la microstrip, que corresponde a la constante dieléctrica de un medio homogéneo equivalente (es decir, uno que produce la misma velocidad de propagación).

Otras consecuencias de un medio no homogéneo incluyen:

  • La línea no soportará una verdadera onda TEM ; a frecuencias distintas de cero, tanto el campo E como el campo H tendrán componentes longitudinales (un modo híbrido ). [ 7 ] Sin embargo, las componentes longitudinales son pequeñas, por lo que el modo dominante se denomina cuasi-TEM. [ 8 ]
  • La línea es dispersiva . Con el aumento de la frecuencia, la constante dieléctrica efectiva aumenta gradualmente hasta alcanzar la del sustrato, de modo que la velocidad de fase disminuye gradualmente. [ 7 ] [ 9 ] Esto es cierto incluso con un material de sustrato no dispersivo (la constante dieléctrica del sustrato generalmente disminuirá con el aumento de la frecuencia).
  • La impedancia característica de la línea cambia ligeramente con la frecuencia (de nuevo, incluso con un material de sustrato no dispersivo). La impedancia característica de los modos no TEM no está definida de forma unívoca y, dependiendo de la definición precisa utilizada, la impedancia de la microcinta aumenta, disminuye o disminuye y luego aumenta con el incremento de la frecuencia. [ 10 ] El límite de baja frecuencia de la impedancia característica se denomina impedancia característica cuasiestática y es el mismo para todas las definiciones de impedancia característica.
  • La impedancia de la onda varía a lo largo de la sección transversal de la línea.
  • Las líneas de microcinta irradian y los elementos de discontinuidad, como los stubs y los postes, que serían reactancias puras en una línea de tira, tienen un pequeño componente resistivo debido a la radiación que emiten. [ 11 ]

Impedancia característica

Wheeler desarrolló una expresión aproximada en forma cerrada para la impedancia característica cuasiestática de una línea de microcinta : [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

Zmicrotira=Z02π2(1+εr)lnorte(1+4hwefectivo(14+8/εr114hwefectivo+(14+8/εr114hwefectivo)2+π21+1/εr2)),{\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{\text{r}})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),}

donde w eff es el ancho efectivo , que es el ancho real de la tira, más una corrección para tener en cuenta el espesor no nulo de la metalización:

wefectivo=w+t1+1/εr2πln⁡(4mi(th)2+(1π1w/t+11/10)2).{\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}

Aquí Z 0 es la impedancia del espacio libre , ε r es la permitividad relativa del sustrato, w es el ancho de la tira, h es el espesor ("altura") del sustrato y t es el espesor de la metalización de la tira.

Esta fórmula es asintótica a una solución exacta en tres casos diferentes:

  1. w≫h{\displaystyle w\gg h}, cualquier ε r (línea de transmisión de placas paralelas),
  2. w≪h{\displaystyle w\ll h}, ε r = 1 (cable sobre un plano de tierra), y
  3. w≪h{\displaystyle w\ll h},εr≫1{\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}\gg 1}.

Se afirma que para la mayoría de los demás casos, el error en la impedancia es menor al 1%, y siempre es menor al 2%. [ 14 ] Al cubrir todas las relaciones de aspecto en una fórmula, Wheeler 1977 mejora a Wheeler 1965 [ 13 ] que da una fórmula para w / h > 3,3 y otra para w / h ≤ 3,3 (introduciendo así una discontinuidad en el resultado en w / h = 3,3 ).

A Harold Wheeler le disgustaban tanto los términos "microcinta" como "impedancia característica", y evitaba utilizarlos en sus artículos.

Otros autores han propuesto diversas fórmulas aproximadas para la impedancia característica. Sin embargo, la mayoría de ellas solo son aplicables a un rango limitado de relaciones de aspecto, o bien cubren todo el rango por partes.

En particular, el conjunto de ecuaciones propuesto por Hammerstad, [ 15 ] quien modifica a Wheeler, [ 12 ] [ 13 ] son ​​quizás las más citadas:

Zmicrotira={Z02πεefectivoln⁡(8hw+w4h),cuando wh≤1Z0εefectivo[wh+1.393+0,667ln⁡(wh+1.444)],cuando wh≥1{\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}

donde ε eff es la constante dieléctrica efectiva, aproximada como: [ 16 ]

εefectivo=εr+12+εr−12qq=11+12(h/w)+q2q2={0,04(1−wh)2,cuando wh≤10,cuando wh≥1.{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}

Efecto del cerramiento metálico

Los circuitos de microcinta pueden requerir una carcasa metálica, dependiendo de la aplicación. Si la cubierta superior de la carcasa invade la microcinta, la impedancia característica de la microcinta puede reducirse debido a la trayectoria adicional para la capacitancia de placa y de borde. Cuando esto sucede, se han desarrollado ecuaciones para ajustar la impedancia característica en el aire ( εr = 1 ) de la microcinta.ΔZometroa{\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}, dóndeZometroa=Zo∞a−ΔZometroa{\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}, yZo∞a{\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}es la impedancia de la microbanda descubierta en el aire. Ecuaciones paraεrmi{\displaystyle \varepsilon _ {re}}puede ajustarse para tener en cuenta la cubierta metálica y utilizarse para calcular Z o con dieléctrico utilizando la expresión,Zometro=Zometroa/εrmimetro{\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _re_{m}}}}}, dóndeεrmimetro{\ Displaystyle \ varepsilon _ {re_ {m}}}es elεrmi{\displaystyle \varepsilon _ {re}}ajustado para la cubierta metálica. La compensación del espesor finito de la tira se puede calcular sustituyendowefectivo{\displaystyle w_{\textrm {eff}}}desde arriba paraw{\displaystyle w}para ambosΔZometroa{\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}yεrmimetro{\ Displaystyle \ varepsilon _ {re_ {m}}}cálculos, utilizandoε=1{\displaystyle \varepsilon =1}todos los cálculos de aire yε=εr{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}para todos los cálculos de materiales dieléctricos. En las expresiones siguientes, c es la altura de la cubierta, la distancia desde la parte superior del dieléctrico hasta la cubierta metálica. [ 17 ]

La ecuación paraεrmimetro{\ Displaystyle \ varepsilon _ {re_ {m}}}es:

εrmimetro=εr+12+εr−12qqdoq se define arribaqdo=tanh⁡(1.043+.121doh−1.164hdo){\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ se define arriba}}\\q_{C}&=\tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}.

La ecuación paraΔZometroa{\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}es

ΔZometroa=PAGQPAG=270[1−tanh⁡(0,28+1.2doh)]Q={1,cuando wh≤11−tanh−1⁡(0,48(w/h)−1(1+(do/h))2),cuando wh≥1{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-\tanh {\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-\tanh ^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{cuando }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}.

La ecuación paraZometro{\displaystyle Z_{om}}es

Zometro=Zo∞a−ΔZometroaεrmimetro{\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}.

Se afirma que las ecuaciones tienen una precisión del 1% para:

1≤εr≤300,05≤w/h≤30.0t/h≤0.1do/h≥1.0{\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}.

Microbanda suspendida e invertida

Cuando la capa dieléctrica se suspende sobre el plano de tierra inferior mediante una capa de aire, el sustrato se denomina sustrato suspendido, lo cual es análogo a la capa D en la ilustración de la microcinta en la parte superior derecha de la página, donde el valor es distinto de cero. Las ventajas de utilizar un sustrato suspendido frente a una microcinta tradicional son la reducción de los efectos de dispersión, el aumento de las frecuencias de diseño, la posibilidad de utilizar geometrías de tira más amplias, la reducción de las imprecisiones estructurales, la obtención de propiedades eléctricas más precisas y una mayor impedancia característica . La desventaja es que los sustratos suspendidos son más grandes que los sustratos de microcinta tradicionales y su fabricación es más compleja. Cuando el conductor se coloca debajo de la capa dieléctrica, en lugar de encima, la microcinta se denomina microcinta invertida. [ 18 ] [ 19 ]

Impedancia característica

Pramanick y Bhartia documentaron una serie de ecuaciones utilizadas para aproximar la impedancia característica (Zo) y la constante dieléctrica efectiva (Ere) para microtiras suspendidas e invertidas. [ 18 ] Las ecuaciones se pueden consultar directamente en la referencia y no se repiten aquí.

John Smith desarrolló ecuaciones para la capacitancia de borde de modo par e impar para matrices de líneas microstrip acopladas en un sustrato suspendido utilizando la expansión en serie de Fourier de la distribución de carga, y proporciona código Fortran estilo 1960 que realiza la función. El trabajo de Smith se detalla en la sección siguiente . Las líneas microstrip individuales se comportan como microstrips acopladas con espacios infinitamente anchos. Por lo tanto, las ecuaciones de Smith se pueden usar para calcular la capacitancia de borde de líneas microstrip individuales ingresando un número grande para el espacio en las ecuaciones de modo que la otra microstrip acoplada ya no afecte significativamente la característica eléctrica de la microstrip individual, que es un valor típico de siete alturas de sustrato o más. Las microstrips invertidas se pueden calcular intercambiando las variables de altura de cubierta y altura suspendida. Las microstrips sin cubierta metálica se pueden calcular ingresando una variable grande en la altura de la cubierta metálica de modo que la cubierta metálica ya no afecte significativamente las características eléctricas de la microstrip, típicamente 50 o más veces la altura del conductor sobre el sustrato. Las microtiras invertidas se pueden calcular intercambiando las variables de altura de la cubierta metálica y altura suspendida. [ 20 ] [ 21 ]

dopaglatmi_εr=WB+W(D+do/εr)doFεr=doFo_εr|GRAMO=∞ o doFmi_εr|GRAMO=∞do_εr=dopaglatmi_εr+2doFεr{\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}
dopaglatmi_air=WB+W(D+do)doF_air=doFo_air|GRAMO=∞ o doFmi_air|GRAMO=∞do_air=dopaglatmi_air+2doF_air{\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}

donde B, C y D están definidos por la geometría de la microbanda que se muestra en la parte superior derecha de la página.

Para calcular los valores de Zo y Ere para una microcinta suspendida o invertida, la capacitancia de placa se puede sumar a la capacitancia de borde para cada lado de la línea de microcinta para calcular la capacitancia total tanto para el caso dieléctrico ( εr ) como para el caso de aire ( εra ) , y los resultados se pueden usar para calcular Zo y Ere, como se muestra: [ 22 ] [ 21 ] [ 23 ]

εrmi=doεrdoairZo=1VdodoairdomirVdo es la velocidad de la luz en el vacío.{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}

Enfermedad de buzo

Para construir un circuito completo en microcinta, a menudo es necesario que la trayectoria de la tira gire en un ángulo amplio. Una curva abrupta de 90° en una microcinta provocará que una parte significativa de la señal en la tira se refleje hacia su fuente, transmitiéndose solo una parte de la señal alrededor de la curva. Una forma de lograr una curva con baja reflexión es curvar la trayectoria de la tira en un arco con un radio de al menos 3 veces el ancho de la tira. [ 24 ] Sin embargo, una técnica mucho más común, y que consume una menor área de sustrato, es utilizar una curva en ángulo recto.

Microcinta curva a inglete de 90°. El porcentaje de inglete es 100 x / d .

En una primera aproximación, una curva abrupta sin biselar se comporta como una capacitancia en derivación ubicada entre el plano de tierra y la curva en la tira. El biselado reduce el área de metalización y, por lo tanto, elimina la capacitancia sobrante. El porcentaje de biselado es la fracción recortada de la diagonal entre las esquinas interior y exterior de la curva sin biselar.

Douville y James determinaron experimentalmente el ángulo de inglete óptimo para una amplia gama de geometrías de microtiras. [ 25 ] Encontraron que un buen ajuste para el porcentaje óptimo de ángulo de inglete viene dado por

METRO=100incógnitad%=(52+65mi−(27/20)(w/h))%{\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}

sujeto a w / h ≥ 0,25 y con la constante dieléctrica del sustrato ε r ≤ 25 . Esta fórmula es completamente independiente de ε r . El rango real de parámetros para el cual Douville y James presentan evidencia es 0,25 ≤ w / h ≤ 2,75 y 2,5 ≤ ε r ≤ 25 . Informan una VSWR de mejor que 1,1 (es decir, una pérdida de retorno mejor que − 26  dB) para cualquier inglete porcentual dentro del 4% (de la d original ) de la que da la fórmula. En el w / h mínimo de 0,25, el inglete porcentual es 98,4%, por lo que la tira está muy cerca de cortarse por completo.

Tanto en las curvas como en las curvas a inglete, la longitud eléctrica es algo menor que la longitud del recorrido físico de la tira.

Uniones discontinuas

Además de las curvas (véase más arriba), otros tipos de discontinuidades en microcintas, también conocidas como esquinas , son los extremos abiertos , los orificios pasantes (conexiones al plano de tierra), los cambios de ancho, los espacios entre microcintas, las uniones en T y las uniones en cruz . Se ha realizado un extenso trabajo desarrollando modelos para estos tipos de uniones, los cuales están documentados en literatura disponible públicamente, como el simulador de circuitos universal Quite (QUCS). [ 26 ]

microtiras acopladas

Las líneas de microcinta pueden instalarse lo suficientemente cerca unas de otras como para que existan interacciones de acoplamiento eléctrico entre ellas. Esto puede ocurrir de forma inadvertida durante el tendido de las líneas, o intencionadamente para dar forma a una función de transferencia deseada o diseñar un filtro distribuido . Si las dos líneas tienen el mismo ancho, pueden caracterizarse mediante un análisis de modos pares e impares de líneas de transmisión acopladas .

Impedancia característica

Se han desarrollado expresiones analíticas para la impedancia característica de los modos par e impar (Zoe, Zoo) y la constante dieléctrica efectiva ( εree , εreo ) con una precisión definida bajo las condiciones indicadas. Estas expresiones están disponibles en las referencias [ 27 ] , [ 28 ] y [ 29 ] , y no se repiten aquí.

Solución de la serie de Fourier

John Smith desarrolló ecuaciones para la capacitancia de franja de modo par e impar para matrices de líneas microstrip acopladas con una cubierta metálica, incluyendo microstrips suspendidas, utilizando la expansión en serie de Fourier de la distribución de carga, y proporciona código Fortran al estilo de la década de 1960 que realiza la función. Las microstrips sin cubierta se soportan asignando una altura de cubierta generalmente 50 veces o más la altura del conductor sobre el plano de tierra. Las microstrips invertidas se soportan invirtiendo las variables de altura de cubierta y altura de suspensión. Las ecuaciones de Smith son ventajosas porque son teóricamente válidas para todos los valores de ancho del conductor, separación entre conductores, constante dieléctrica, altura de la cubierta y altura de suspensión dieléctrica. [ 20 ]

Las ecuaciones de Smith contienen un cuello de botella (ecuación 37 en la página 429) donde se debe resolver el inverso de una razón integral elíptica ,K(1,1−k2)/K(1,k)=incógnita{\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}, dóndeK(,){\displaystyle K(,)}es la integral elíptica completa de primera especie,incógnita{\displaystyle X}es conocido yk{\displaystyle k}es la variable que debe resolverse. Smith proporciona un elaborado algoritmo de búsqueda que generalmente converge en una solución parak{\displaystyle k}Sin embargo, el método de Newton o las tablas de interpolación pueden proporcionar una solución más rápida y completa parak{\displaystyle k}.

Para calcular los valores Zo y ε re de modo par e impar para una microcinta desacoplada, la capacitancia de placa se suma a la capacitancia de franja de modo par e impar para el interior de la microcinta y la capacitancia de franja desacoplada de los lados exteriores. La capacitancia de franja desacoplada se puede calcular aplicando un valor de separación entre los conductores de ancho infinito, que se puede aproximar por un valor de 7 o más veces la altura del conductor sobre el plano de tierra. Los valores Zo y ε re de modo par e impar se calculan entonces como funciones de la capacitancia de modo par e impar para el caso dieléctrico ( ε r ) y el caso de aire ( ε r =1) como se muestra: [ 22 ] [ 21 ]

εrmimi=doεrmidoairmiεrmio=doεrodoairoZomi=1VdodoairmidomirmiZoo=1VdodoairodomiroVdo es la velocidad de la luz en el vacío{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}}.

La solución detallada de John Smith

La serie de Fourier de Smith requiere la solución inversa, k , de la razón integral elíptica,K(1−k2)/K(k){\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}donde K () es la integral elíptica completa de primera especie. Aunque Smith proporciona un algoritmo de búsqueda elaborado para encontrar k , se puede lograr una convergencia más rápida y precisa con el método de Newton , o se pueden emplear tablas de interpolación . Dado queK(1−k2)/K(k){\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}se vuelve extremadamente no lineal a medida que k se acerca a 0 y 1, el método de Newton funciona mejor en la funciónK(1−mi2klgramo)/K(miklgramo){\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}Una vez resuelto el valor de k lg , se obtiene k mediantek=miklgramo{\displaystyle k=e^{k_{lg}}}.

La expresión del método de Newton para resolver k lg es la siguiente, utilizando las reglas estándar de derivación . Las derivadas integrales elípticas se pueden encontrar en la página de integrales elípticas.

klgramo[norte+1]=klgramo[norte]−F[norte]−FknorteownorteF′F=K(1−mi2klgramo)K(miklgramo)F′={≈−2π,si klgramo<≈−14dFdklgramo,de lo contrarioentonces: k=miklgramo{\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}

A continuación se muestra una tabla de interpolación para hallar k lg y k .

Para valores de F(incógnita)<1{\displaystyle F(x)<1}, es útil aplicar la relación que se muestra en la tabla para maximizar la linealidad de laklgramo{\displaystyle k_{lg}}, olnorte(k){\displaystyle ln(k)}, función para su uso en el método de Newton o interpolación. Por ejemplo,F−1(.5)=1−[F−1(2)]2=0,985 171 43{\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}.

Para calcular el valor de la capacitancia total de modo par e impar basándose en el trabajo de Smith utilizando integrales elípticas y funciones elípticas de Jacobi [ 30 ] , Smith utiliza el tercer algoritmo rápido de estimación de funciones elípticas de Jacobi que se encuentra en la página de funciones elípticas [ 20 ] .

dejar:do= altura dieléctrica del sustratoD= altura suspendida del sustratoB= altura de cobertura del sustrato (50(C+D) para microtiras sin cubrir)Wlimetro= ancho del conductor de tiras defectuosas limitado a un máximo de 7 (C+D)GRAMOlimetro= espacio o separación entre los conductores de microtiras limitado a un máximo de 7 (C+D)εr= constante dieléctricaεo= permitividad del vacío entonces:K(1−k2)K(k)=Wlimetro+GRAMOlimetro2(do+D)= dónde K() es la integral elíptica completa de primera especiedeterminar  el valor de k, luego proceda:nortemio={1,para modo uniforme2,para modo imparMETROmetroaincógnita=30 (o mayor)Wmigramor=WlimetroK(1−k2)Wlimetro+GRAMOlimetroWnorte=WmigramorMETROmetroaincógnita−2(Snorte)wk=snorte(Wmigramor,1−k2) donde sn() es una función elíptica de Jacobi(Snorte)wk2={(Snorte)wk,para modo impar(Snorte)wk1−k2,para modo uniformedoT=4K((Snorte)wk2)K(1−(Snorte)wk22)Φ[metro]=1+εrtanorteh(metroπDWlimetro+GRAMOlimetro)dooth(metroπdoWlimetro+GRAMOlimetro)dooth(metroπBWlimetro+GRAMOlimetro)+εrdooth(metroπdoWlimetro+GRAMOlimetro)+εrtanorteh(metroπDWlimetro+GRAMOlimetro)(εr+dooth(metroπBWlimetro+GRAMOlimetro)dooth(metroπdoWlimetro+GRAMOlimetro))−tanorteh(metroπ(D+do)Wlimetro+GRAMOlimetro)εr+1do[metro]=doos(metroπWmigramor2K(1−k2))(Snorte)wmi[j]=snorte((j−1)Wnorte,1−k2)t[j]=1−((21−k2−1+(1−1−k2)nortemio)(Snorte)wmi[j])21−((Snorte)wmi[j](Snorte)wk)2ρ[metro]=1−do[metro]+4t[METROmetroaincógnita−2](doos(metro(Wmigramor−Wnorte)π2K(1−k2))−do(metro))+∑j=2,j+=2METROmetroaincógnita−24t[j](doos((j−1)πmetroWnorte2K(1−k2))−do[metro])+2t(j+1)(doos(jπmetroWnorte2K(1−k2))−do[metro])dopagl=WB+W(D+do/εr)1doall=π2doT2[∑metro=nortemio,metro+=2∞ρ(metro)2Φ(metro)metro]+{2(1doT−H2π)/(εr+1)+Wdopagl(Wlimetro+GRAMOlimetro),para modo uniforme2(εr+1)doT,para modo imparromper la suma cuando |ϕ[metro]|εr+1<10−6 o menosdoF(mi/o)=εo(doall−dopagl)2 faradios por unidad de longitud {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}

Para obtener la capacitancia total: [ 21 ]

dopaglatmi_εr=WB+W(D+do/εr)doFεr=doFo_εr|GRAMO=∞ o doFmi_εr|GRAMO=∞domi_εr=dopaglatmi_εr+doFmi_εr+doFεrdoo_εr=dopaglatmi_εr+doFo_εr+doFεr{\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}
dopaglatmi_air=WB+W(D+do)doF_air=doFo_(εr=1)|GRAMO=∞ o doFmi_(εr=1)|GRAMO=∞domi_air=dopaglatmi_air+doFmi_(εr=1)+doF_airdoo_air=dopaglatmi_air+doFo_(εr=1)+doF_air{\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}

dónde(GRAMO=∞){\displaystyle (G=\infty )}puede aproximarse mediante(GRAMO=7){\displaystyle (G=7)}o más veces la altura del conductor sobre el plano de tierra.

Ejemplo y comparación de precisión

Smith compara la precisión de sus soluciones de capacitancia de la serie de Fourier con tablas publicadas de la época. Sin embargo, un enfoque más moderno es comparar los resultados de la impedancia de modo par e impar y las constantes dieléctricas efectivas con los obtenidos de simulaciones electromagnéticas como Sonnet . El siguiente ejemplo se realiza bajo las siguientes condiciones: B = 2,5  mm, C = 0,4  mm, D = 0,6  mm, W = 1,5  mm, G = 0,5  mm, Er = 12, donde B, C y D están definidos por la geometría de la microcinta que se muestra en la parte superior derecha de la página. El ejemplo comienza calculando el valor de log( k ) , luego k , y continúa usando k , εr , la geometría del sustrato y la geometría del conductor para calcular las capacitancias y posteriormente la impedancia de modo par e impar y la constante dieléctrica efectiva ( Zoe , Zoo , εre y εro ) .

La simulación de Sonnet se realiza con una resolución de malla de alta resolución de 4096 × 4096 , planos de referencia de 7  mm a cada lado, y simula la línea acoplada a lo largo de una  longitud de 10 mm. Los resultados de los parámetros Y se traducen a los modos par e impar Z o y ε r invirtiendo algebraicamente las ecuaciones de los parámetros Y para líneas de transmisión acopladas .

Microtiras acopladas asimétricamente

Cuando dos líneas microstrip se encuentran lo suficientemente cerca como para que se produzca acoplamiento, pero no son simétricas en ancho, el análisis de modos pares e impares no es directamente aplicable para caracterizar las líneas. En este caso, las líneas se caracterizan generalmente por su inductancia y capacitancia propias y mutuas. Las técnicas y expresiones que las definen se encuentran disponibles en las referencias. [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

Microtiras acopladas múltiples

En algunos casos, se pueden acoplar varias líneas microstrip. Cuando esto ocurre, cada línea microstrip tendrá una capacitancia propia y una capacitancia de separación con todas las demás líneas, incluidas las microstrips no adyacentes. El análisis es similar al caso de acoplamiento asimétrico descrito anteriormente, pero las matrices de capacitancia e inductancia tendrán un tamaño de NXN, donde N es el número de microstrips acopladas. La capacitancia de microstrips no adyacentes se puede calcular con precisión mediante el método de elementos finitos (MEF). [ 35 ] [ 36 ] [ 34 ]

Pérdidas

La atenuación debida a las pérdidas del conductor y del dieléctrico se considera generalmente al simular una microcinta. Las pérdidas totales son una función de la longitud de la microcinta, por lo que la atenuación generalmente se calcula en unidades de atenuación por unidad de longitud, con pérdidas totales calculadas por atenuación × longitud, con unidades de atenuación de Nepers , aunque algunas aplicaciones pueden usar la atenuación en unidades de dB . Cuando la impedancia característica de la microcinta (Zo), la constante dieléctrica efectiva (Ere) y las pérdidas totales (αl{\displaystyle \alpha l}) son todos conocidos, la microcinta puede modelarse como una línea de transmisión estándar .

Pérdidas del conductor

Las pérdidas de un conductor se definen por la "resistencia específica" o "resistividad" del material del conductor, y generalmente se expresan comoρ{\displaystyle \rho }en la literatura. [ 37 ] Cada material conductor generalmente tiene una resistividad publicada asociada con él. Por ejemplo, el material conductor común de cobre tiene una resistividad publicada de1,68 × 10 −8  Ω ⋅ m . [ 38 ] E. Hammerstad y Ø. Jensen propusieron las siguientes expresiones para la atenuación debida a las pérdidas del conductor: [ 39 ] [ 40 ]

αdo=RsZoWKrKi Np por unidad de longitudαdo=27.3RsπZoWKrKi dB por unidad de longitudDónde :Rs=ρδ=ρωtúo2Ki=miincógnitapag[−1.2(Zonorteo)0,7]Kr=1+2tanorte−1(1.4(Δδ)2)π{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}} y

Rs{\displaystyle R^{s}}= resistencia superficial del conductor
Ki{\displaystyle K_{i}}= factor de distribución actual
Kr{\displaystyle K_{r}}= término de corrección debido a la rugosidad de la superficie
túo{\displaystyle u_{o}}= permeabilidad al vacío (4π×10−7H/metro{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m})
ρ{\displaystyle \rho }= resistencia específica , o resistividad, del conductor
Δ{\displaystyle \Delta }= rugosidad superficial efectiva (rms) del sustrato
δ{\displaystyle \delta }= profundidad de la piel
norteo{\displaystyle n_{o}}= impedancia de onda en el vacío (376.730 313 412 (59)  Ω ‍ [41 ] )

Tenga en cuenta que si se ignora la rugosidad de la superficie, laKr{\displaystyle K_{\text{r}}}desaparece de la expresión, y con frecuencia es así.

Algunos autores utilizan el espesor del conductor en lugar de la profundidad de penetración para calcular la resistencia superficial, R s . [ 42 ] Cuando esto ocurre,

Rs=ρt{\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}

donde t es el espesor del conductor.

pérdidas dieléctricas

Las pérdidas dieléctricas se definen por la "tangente de pérdidas" del material dieléctrico y generalmente se expresan comotanorteδd{\displaystyle tan\delta _{d}}en la literatura. Cada material dieléctrico generalmente tiene una tangente de pérdida publicada asociada con él. Por ejemplo, el material dieléctrico común es la alúmina tiene una tangente de pérdida publicada de0,0002 a 0,0003 dependiendo de la frecuencia. [ 43 ] Welch y Pratt, y Schneider propusieron las siguientes expresiones para la atenuación debida a pérdidas dieléctricas: [ 44 ] [ 45 ] [ 39 ]

αd=tanorteδd ω2πεrεrmiεrmi−1εr−1 Np por unidad de longitudαd=27.3 tanorteδd ω2πεrεrmiεrmi−1εr−1 dB por unidad de longitud{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}.

Las pérdidas dieléctricas son, en general, mucho menores que las pérdidas por conducción y, con frecuencia, se desprecian en algunas aplicaciones.

Pérdidas de microcinta acopladas

Las pérdidas de microcinta acopladas pueden estimarse utilizando el mismo análisis de modo par e impar que se utiliza para la impedancia característica, la constante dieléctrica y la constante dieléctrica efectiva para microcintas de línea única. Los valores de pérdida del conductor y del dieléctrico para los modos par e impar de la línea acoplada se calculan de forma independiente a partir de los valores correspondientes de Zo y Ere de la línea única. [ 46 ] [ 47 ]

Wheeler propuso una solución de pérdida de conductor que tiene en cuenta la separación entre los conductores: [ 46 ]αdo(mi/o)=Rs240πZo(mi/o)(2h){(1−S2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(S/h)−(1+t2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(t/h)−(1+W2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(W/h)} Np por unidad de longitudαdo(mi/o)=8.688Rs240πZo(mi/o(2h){(1−S2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(S/h)−(1+t2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(t/h)−(1+W2h)∂(εrmi(mi/o)Zo(mi/o))∂(W/h)} dB por unidad de longitud{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}} dónde:

h = altura del conductor sobre el plano de tierra
S = separación entre los conductores
W = ancho de los conductores
t = espesor de los conductores.

Las derivadas parciales con respecto a la separación, el espesor y el ancho del conductor se pueden calcular digitalmente.

Véase también

Referencias

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  • Microcinta en la enciclopedia de microondas
  • Calculadora de análisis/síntesis de microtiras
  • Calculadora de ancho de línea microstrip