Generación de un conjunto de módulos

En matemáticas , un conjunto generador Γ de un módulo M sobre un anillo R es un subconjunto de M tal que el submódulo más pequeño de M que contiene a Γ es el propio M (el submódulo más pequeño que contiene un subconjunto es la intersección de todos los submódulos que contienen dicho conjunto). Se dice entonces que el conjunto Γ genera M. Por ejemplo, el anillo R es generado por el elemento identidad 1 como un R -módulo izquierdo sobre sí mismo. Si existe un conjunto generador finito , se dice que un módulo es finitamente generado .

Esto se aplica a los ideales , que son los submódulos del anillo mismo. En particular, un ideal principal es un ideal cuyo conjunto generador consta de un solo elemento.

Explícitamente, si Γ es un conjunto generador de un módulo M , entonces cada elemento de M es una combinación lineal (finita) R de algunos elementos de Γ; es decir, para cada x en M , hay r ₁ , ..., r _m en R y g ₁ , ..., g _m en Γ tales que

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

Dicho de otro modo, hay una sobreyección.

${\displaystyle \bigoplus _{g\in \Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

donde escribimos r _g para un elemento en el componente g de la suma directa. (Casualmente, dado que siempre existe un conjunto generador, por ejemplo M mismo, esto demuestra que un módulo es un cociente de un módulo libre , un hecho útil).

Se dice que un conjunto generador de un módulo es mínimo si ningún subconjunto propio del conjunto genera el módulo. Si R es un cuerpo , entonces un conjunto generador mínimo es lo mismo que una base . A menos que el módulo sea finitamente generado , puede que no exista un conjunto generador mínimo. ^{[ 1 ]}

La cardinalidad de un conjunto generador mínimo no tiene por qué ser un invariante del módulo; Z es generado como ideal principal por 1, pero también es generado, por ejemplo, por un conjunto generador mínimo {2, 3 }. Lo que determina de forma única un módulo es el ínfimo de los números de los generadores del módulo.

Sea R un anillo local con ideal maximal m y cuerpo residual k , y M un módulo finitamente generado. Entonces el lema de Nakayama dice que M tiene un conjunto generador mínimo cuya cardinalidad es${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$. Si M es plano , entonces este conjunto generador mínimo es linealmente independiente (por lo que M es libre). Véase también: Resolución mínima .

Se obtiene información más precisa si se consideran las relaciones entre los generadores; véase Presentación libre de un módulo .

• Módulo generado de forma contable
• Módulo plano
• Número de base invariante

• Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstracta .