condición de cadena ascendente

En matemáticas , la condición de cadena ascendente ( CCA ) y la condición de cadena descendente ( CCD ) son propiedades de finitud que satisfacen algunas estructuras algebraicas , principalmente ideales en ciertos anillos conmutativos . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Estas condiciones desempeñaron un papel importante en el desarrollo de la teoría de estructuras de anillos conmutativos en los trabajos de David Hilbert , Emmy Noether y Emil Artin . Las condiciones mismas pueden enunciarse de forma abstracta, de modo que tengan sentido para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Este punto de vista es útil en la teoría abstracta de la dimensión algebraica debida a Gabriel y Rentschler.

Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisface la condición de cadena ascendente (CCA) si no existe una secuencia estrictamente ascendente infinita.

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

de elementos de P existe. ^{[ 4 ]} Equivalentemente, ^{[ a ]} ​​toda secuencia débilmente ascendente

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

de elementos de P eventualmente se estabiliza, lo que significa que existe un entero positivo n tal que

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

De manera similar, se dice que P satisface la condición de cadena descendente (CCD) si no existe una cadena estrictamente descendente infinita de elementos de P. [ ^{4 ] Equivalentemente} , toda secuencia débilmente descendente

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

de elementos P finalmente se estabiliza.

Consideremos el anillo

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

de enteros. Cada ideal de${\displaystyle \mathbb {Z} }$consta de todos los múltiplos de algún número${\displaystyle n}$Por ejemplo, el ideal

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

consta de todos los múltiplos de${\displaystyle 6}$. Dejar

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

ser el ideal que consta de todos los múltiplos de${\displaystyle 2}$. El ideal${\displaystyle I}$está contenido dentro del ideal${\displaystyle J}$, ya que cada múltiplo de${\displaystyle 6}$también es un múltiplo de${\displaystyle 2}$. A su vez, el ideal${\displaystyle J}$está contenido en el ideal${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ya que cada múltiplo de${\displaystyle 2}$es un múltiplo de${\displaystyle 1}$Sin embargo, en este punto no hay un ideal mayor; hemos "alcanzado nuestro máximo" en${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

En general, si${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$son ideales de${\displaystyle \mathbb {Z} }$de tal manera que${\displaystyle I_{1}}$está contenido en${\displaystyle I_{2}}$,${\displaystyle I_{2}}$está contenido en${\displaystyle I_{3}}$y así sucesivamente, entonces hay algo${\displaystyle n}$por lo cual todo${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$. Es decir, después de cierto punto todos los ideales son iguales entre sí. Por lo tanto, los ideales de${\displaystyle \mathbb {Z} }$satisfacen la condición de cadena ascendente, donde los ideales están ordenados por inclusión de conjuntos. Por lo tanto${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un anillo noetheriano .

• Artiniano
• Condición de cadena ascendente para ideales principales
• Dimensión de Krull
• Condición máxima sobre congruencias
• Noetheriano

• "¿La equivalencia entre la condición de cadena ascendente y la condición máxima es equivalente al axioma de elección dependiente? "