Desviación mínima

En un prisma , el ángulo de desviación ( δ ) disminuye con el aumento del ángulo de incidencia ( i ) hasta un ángulo determinado. Este ángulo de incidencia en el que el ángulo de desviación en un prisma es mínimo se denomina posición de desviación mínima del prisma y ese mismo ángulo de desviación se conoce como ángulo de desviación mínimo (indicado por δ _min , D _λ o D _m ).

El ángulo de desviación mínima está relacionado con el índice de refracción como:

${\displaystyle n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}}$

Esto es útil para calcular el índice de refracción de un material. El arcoíris y el halo se producen con una desviación mínima. Además, un prisma delgado siempre se fija con una desviación mínima.

En la desviación mínima, el rayo refractado en el prisma es paralelo a su base. En otras palabras, el rayo de luz es simétrico respecto del eje de simetría del prisma. ^{[1] [2] [3]} Además, los ángulos de refracción son iguales, es decir, r ₁ = r ₂ . El ángulo de incidencia y el ángulo de emergencia son iguales entre sí ( i = e ). Esto se ve claramente en el gráfico siguiente.

La fórmula para la desviación mínima se puede obtener aprovechando la geometría del prisma. El enfoque implica reemplazar las variables de la ley de Snell en términos de la desviación y los ángulos del prisma haciendo uso de las propiedades anteriores.

A partir de la suma de ángulos de , ${\textstyle\triángulo OPQ}$

${\displaystyle A+\angle OPQ+\angle OQP=180^{\circ }}$ ${\displaystyle \implies A=180^{\circ }-(90-r)-(90-r)}$ ${\displaystyle \implies r={\frac {A}{2}}}$

Utilizando el teorema del ángulo exterior en , ${\textstyle \triangle PQR}$

${\displaystyle D_{m}=\angle RPQ+\angle RQP}$ ${\displaystyle \implies D_{m}=i-r+i-r}$ ${\displaystyle \implies 2r+D_{m}=2i}$ ${\displaystyle \implies A+D_{m}=2i}$ ${\displaystyle \implies i={\frac {A+D_{m}}{2}}}$

Esto también se puede derivar poniendo i = e en la fórmula del prisma: i + e = A + δ

De la ley de Snell ,

${\displaystyle n_{21}={\dfrac {\sin i}{\sin r}}}$

$${\displaystyle \therefore n_{21}={\dfrac {\sin \left({\dfrac {A+D_{m}}{2}}\right)}{\sin \left({\dfrac {A}{2}}\right)}}}$$^{[4] [3] [1] [2] [5] [ citas excesivas ]}

$${\displaystyle \therefore D_{m}=2\sin ^{-1}\left(n\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\right)-A}$$

(donde n es el índice de refracción, A es el ángulo del prisma y D _m es el ángulo mínimo de desviación).

Esta es una forma conveniente de medir el índice de refracción de un material (líquido o gas) dirigiendo un rayo de luz a través de un prisma de espesor insignificante con una desviación mínima lleno con el material o en un prisma de vidrio sumergido en él. ^{[5] [3] [1]}

Ejemplos resueltos:

Además, la variación del ángulo de desviación con un ángulo de incidencia arbitrario se puede resumir en una sola ecuación expresando δ en términos de i en la fórmula del prisma utilizando la ley de Snell:

$${\displaystyle \delta =i-A+\sin ^{-1}\left(n\cdot \sin \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{n}}\right)\right)\right)=f(i)(say)}$$

Encontrar los mínimos de esta ecuación también dará la misma relación para la desviación mínima que la anterior.

Poniendo , obtenemos, ${\displaystyle f'(i)=0}$

${\displaystyle {\frac {\cos \left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\cos i}{\sqrt {\left(1-u^{2}\sin ^{2}\left(A-\sin ^{-1}\left({\frac {\sin i}{u}}\right)\right)\right)\left(1-{\frac {\sin ^{2}i}{u^{2}}}\right)}}}=1}$, y al resolver esta ecuación podemos obtener el valor del ángulo de incidencia para un valor definido del ángulo del prisma y el valor del índice de refracción relativo del prisma para el cual se obtendrá el ángulo mínimo de desviación. La ecuación y la descripción se dan aquí

En un prisma delgado o de ángulo pequeño, a medida que los ángulos se vuelven muy pequeños, el seno del ángulo casi es igual al ángulo mismo y esto produce muchos resultados útiles.

Debido a que D _m y A son muy pequeños,

${\displaystyle {\begin{aligned}n&\approx {\dfrac {\frac {A+D_{m}}{2}}{\frac {A}{2}}}\\n&={\frac {A+D_{m}}{A}}\\D_{m}&=An-A\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \therefore D_{m}=A(n-1)}$$^{[1] [4]}

Usando un enfoque similar con la ley de Snell y la fórmula del prisma para un prisma generalmente delgado se llega al mismo resultado para el ángulo de desviación.

Como i , e y r son pequeños,

${\displaystyle n\approx {\frac {i}{r_{1}}},n\approx {\frac {e}{r_{2}}}}$

De la fórmula del prisma, ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=nr_{1}+nr_{2}-A\\&=n(r_{1}+r_{2})-A\\&=nA-A\\&=A(n-1)\end{aligned}}}$

Por tanto, se puede decir que un prisma delgado siempre tiene una desviación mínima.

La desviación mínima se puede determinar manualmente o con un espectrómetro. Se puede mantener el prisma fijo y ajustar el ángulo de incidencia o se puede girar el prisma manteniendo fija la fuente de luz. ^{[6] [7]}

El ángulo mínimo de dispersión de la luz blanca es la diferencia en el ángulo mínimo de desviación entre los rayos rojo y violeta de un rayo de luz a través de un prisma. ^[2]

Para un prisma delgado, la desviación de la luz violeta es y la de la luz roja es . La diferencia en la desviación entre la luz roja y la violeta se denomina Dispersión Angular producida por el prisma. ${\displaystyle \delta _{v}}$${\displaystyle (n_{v}-1)A}$${\displaystyle \delta _{r}}$${\displaystyle (n_{r}-1)A}$${\displaystyle (\delta _{v}-\delta _{r})=(n_{v}-n_{r})A}$

Uno de los factores que provoca la formación del arcoíris es la concentración de los rayos de luz en un ángulo de desviación mínimo cercano al ángulo del arcoíris (42°). ^{[3] [8]}

También es responsable de fenómenos como los halos y los parhelios , producidos por la desviación de la luz solar en miniprismas de cristales de hielo hexagonales en el aire que curvan la luz con una desviación mínima de 22°. ^{[3] [9]}

• Prisma
• Refracción
• Óptica geométrica

• Desviación mínima Parte 1 y Parte 2 en Khan Academy
• Refracción a través de un prisma en el libro de texto NCERT
• Desviación mínima por prisma Archivado el 23 de mayo de 2019 en Wayback Machine por Mark A Peterson, Mount Holyoke College