Segundo teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado de la geometría de los números sobre los valores que toma una norma en una red y el volumen de su celda fundamental. Se llama así porque es un fortalecimiento del teorema de Minkowski .

Sea K un cuerpo cerrado , convexo y centralmente simétrico de volumen finito positivo en el espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ . El funcional de Minkowski g de calibre ^{[ 1 ]} o de distancia ^{[ 2 ] [ 3 ]} asociado a K se define por $${\displaystyle g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.}$$

Por el contrario, dada una norma g en R ⁿ definimos K como $${\displaystyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}$$

Sea Γ una red en R ⁿ . Los mínimos sucesivos de K o g en Γ se definen estableciendo el k -ésimo mínimo sucesivo λ _k como el ínfimo de los números λ tales que λK contiene k vectores linealmente independientes de Γ . Tenemos 0 < λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ ... ≤ λ _n < ∞ .

Los mínimos sucesivos satisfacen ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).}$$

Una base de vectores reticulares linealmente independientes b ₁ , b ₂ , ..., b _n se puede definir mediante g ( b _j ) = λ _j (advertencia : puede que no sea una base de la red, sino solo una base del espacio ambiente ). 

La cota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2 n con vértices en ± b _j / λ _j , que tiene un interior encerrado por K y un volumen que es 2 ⁿ / n ! λ ₁ λ ₂ ... λ _n veces un múltiplo entero de una celda primitiva de la red (como se ve al escalar el politopo por λ _j a lo largo de cada vector base para obtener 2 ⁿ n -símplices con vectores de puntos de la red), siendo el entero el índice de la${\displaystyle \mathbb {Z} }$-extensión de la familia${\displaystyle (b_{i})_{i}}$como un subgrupo del retículo.

Para demostrar la cota superior, consideremos las funciones f _j ( x ) que envían puntos x en${\textstyle K}$al centroide del subconjunto de puntos en${\textstyle K}$que se puede escribir como${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$para obtener algunos números reales${\textstyle a_{i}}$Luego, la transformación de coordenadas$${\displaystyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2}$$tiene un determinante jacobiano${\textstyle J=\lambda _ {1}\lambda _ {2}\ldots \lambda _ {n}/2^{n}}$. Si${\textstyle p}$y${\textstyle q}$están en el interior de ${\textstyle K}$y${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$(con${\textstyle a_{k}\neq 0}$) entonces$${\displaystyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K}$$con${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$, donde la inclusión en${\textstyle \lambda _{k}K}$(específicamente el interior de${\textstyle \lambda _{k}K}$) se debe a la convexidad y la simetría. Pero los puntos de la red en el interior de${\textstyle \lambda _{k}K}$son, por definición de${\textstyle \lambda _{k}}$, siempre expresable como una combinación lineal de${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$, por lo que cualesquiera dos puntos distintos de${\textstyle K'=h(K)=\{x'\mid h(x)=x'\}}$no pueden ser separados por un vector de red. Por lo tanto,${\textstyle K'}$debe estar encerrado en una celda primitiva de la red (que tiene volumen${\textstyle \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$), y en consecuencia${\textstyle \operatorname {vol} (K)/J=\operatorname {vol} (K')\leq \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$.

• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol.  45. Cambridge University Press . Zbl 0077.04801 . 
• Cassels, JWS (1997). Introducción a la geometría de los números . Clásicos en matemáticas (Reimpresión de la  edición de 1971). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría aditiva de números: problemas inversos y geometría de conjuntos suma . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  165. Springer-Verlag . pp. 180–185 . ISBN  0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 . 
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1467 (2.ª  ed.). Springer-Verlag . p.  6. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 . 
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Komaravolu S. Chandrasekharan (ed.). Lecciones sobre la geometría de los números . Springer-Verlag . ISBN 3-540-50629-2. Zbl 0691.10021 .