dimensión de Minkowski-Bouligand

En geometría fractal , la dimensión de Minkowski-Bouligand , también conocida como dimensión de Minkowski o dimensión de conteo de cajas , es una forma de determinar la dimensión fractal de un conjunto acotado.${\textstyle S}$en un espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, o más generalmente en un espacio métrico${\textstyle (X,d)}$Recibe su nombre en honor al matemático polaco Hermann Minkowski y al matemático francés Georges Bouligand .

Para calcular esta dimensión para un fractal${\textstyle S}$Imagina este fractal sobre una cuadrícula con espacios uniformes y cuenta cuántas cajas se necesitan para cubrirlo . La dimensión de conteo de cajas se calcula observando cómo cambia este número al refinar la cuadrícula mediante la aplicación de un algoritmo de conteo de cajas .

Supongamos que${\textstyle N(\varepsilon )}$es el número de cajas de longitud de lado${\textstyle \varepsilon }$requerido para cubrir el conjunto. Entonces la dimensión de conteo de cajas se define como

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}=-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(\varepsilon )}}.}$$

En términos generales, esto significa que la dimensión es el exponente.${\textstyle d}$de tal manera que${\textstyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$, que es lo que cabría esperar en el caso trivial donde${\textstyle S}$es un espacio liso (una variedad ) de dimensión entera${\textstyle d}$.

Si el límite anterior no existe, se puede tomar el límite superior y el límite inferior , que definen respectivamente la dimensión superior de la caja y la dimensión inferior de la caja . La dimensión superior de la caja a veces se denomina dimensión de entropía , dimensión de Kolmogorov , capacidad de Kolmogorov , capacidad límite o dimensión superior de Minkowski , mientras que la dimensión inferior de la caja también se denomina dimensión inferior de Minkowski .

Las dimensiones superior e inferior de la caja están estrechamente relacionadas con la dimensión de Hausdorff, más conocida . Solo en aplicaciones muy específicas es importante distinguir entre las tres (véase más abajo ). Otra medida de la dimensión fractal es la dimensión de correlación .

Es posible definir las dimensiones de la caja usando bolas, ya sea con el número de cubierta o el número de embalaje. El número de cubierta${\textstyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$es el número mínimo de bolas abiertas de radio${\textstyle \varepsilon }$requerido para cubrir el fractal, o dicho de otro modo, de modo que su unión contenga el fractal. También podemos considerar el número de cobertura intrínseco.${\textstyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$, which is defined the same way but with the additional requirement that the centers of the open balls lie in the set S. The packing number ${\textstyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$ is the maximal number of disjoint open balls of radius ${\textstyle \varepsilon }$ one can situate such that their centers would be in the fractal. While ${\textstyle N}$, ${\textstyle N_{\text{covering}}}$, ${\textstyle N'_{\text{covering}}}$ and ${\textstyle N_{\text{packing}}}$ are not exactly identical, they are closely related to each other and give rise to identical definitions of the upper and lower box dimensions. This is easy to show once the following inequalities are proven:

$${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$$

These, in turn, follow either by definition or with little effort from the triangle inequality.

The advantage of using balls rather than squares is that this definition generalizes to any metric space. In other words, the box definition is extrinsic – one assumes the fractal space S is contained in a Euclidean space, and defines boxes according to the external geometry of the containing space. However, the dimension of S should be intrinsic, independent of the environment into which S is placed, and the ball definition can be formulated intrinsically. One defines an internal ball as all points of S within a certain distance of a chosen center, and one counts such balls to get the dimension. (More precisely, the N_covering definition is extrinsic, but the other two are intrinsic.)

The advantage of using boxes is that in many cases N(ε) may be easily calculated explicitly, and that for boxes the covering and packing numbers (defined in an equivalent way) are equal.

The logarithm of the packing and covering numbers are sometimes referred to as entropy numbers and are somewhat analogous to the concepts of thermodynamic entropy and information-theoretic entropy, in that they measure the amount of "disorder" in the metric space or fractal at scale ε and also measure how many bits or digits one would need to specify a point of the space to accuracy ε.

Another equivalent (extrinsic) definition for the box-counting dimension is given by the formula

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$$

where for each r > 0, the set ${\textstyle S_{r}}$ is defined to be the r-neighborhood of S, i.e. the set of all points in ${\textstyle R^{n}}$ that are at distance less than r from S (or equivalently, ${\textstyle S_{r}}$es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen un centro que pertenece a S ). 

La dimensión de la caja superior es finitamente estable, es decir, si { A ₁ , ..., A _n } es una colección finita de conjuntos, entonces

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$$

Sin embargo, no es numerablemente estable; es decir, esta igualdad no se cumple para una secuencia infinita de conjuntos. Por ejemplo, la dimensión de caja de un solo punto es 0, pero la dimensión de caja del conjunto de números racionales en el intervalo [0,  1] es  1. La dimensión de Hausdorff , en comparación, es numerablemente estable. La dimensión de caja inferior, por otro lado, ni siquiera es finitamente estable.

Una propiedad interesante de la dimensión de la caja superior que no comparten ni la dimensión de la caja inferior ni la dimensión de Hausdorff es su conexión con la suma de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos en un espacio euclidiano, entonces A + B se forma tomando todos los pares de puntos a , b donde a es de A y b es de B y sumando a + b . Uno tiene   

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$$

La dimensión de conteo de cajas es una de las definiciones de dimensión que se pueden aplicar a los fractales. Para muchos fractales bien comportados, todas estas dimensiones son iguales; en particular, coinciden siempre que el fractal satisface la condición de conjunto abierto (OSC). ^{[ 1 ]} Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión de la caja inferior y la dimensión de la caja superior del conjunto de Cantor son todas iguales a log(2)/log(3). Sin embargo, las definiciones no son equivalentes.

Las dimensiones de la caja y la dimensión de Hausdorff están relacionadas por la desigualdad

$${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$$

En general, ambas desigualdades pueden ser estrictas . La dimensión de la caja superior puede ser mayor que la dimensión de la caja inferior si el fractal tiene un comportamiento diferente en diferentes escalas. Por ejemplo, examine el conjunto de números en el intervalo [0,  1] que satisfacen la condición.

Los dígitos en los "intervalos de posición impares", es decir, entre los dígitos 2 ^{2 n +1} y 2 ^{2 n +2}  −  1, no están restringidos y pueden tomar cualquier valor. Este fractal tiene una dimensión de caja superior de 2/3 y una dimensión de caja inferior de 1/3, un hecho que se puede verificar fácilmente calculando N ( ε ) para${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$y observando que sus valores se comportan de manera diferente para n par e impar.

Otro ejemplo: el conjunto de los números racionales.${\textstyle \mathbb {Q} }$, un conjunto contable con${\textstyle \dim _{\text{Haus}}=0}$, tiene${\textstyle \dim _{\text{box}}=1}$debido a su cierre,${\textstyle \mathbb {R} }$, tiene dimensión 1. De hecho,

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$$

Estos ejemplos muestran que agregar un conjunto numerable puede cambiar la dimensión de la caja, lo que demuestra una especie de inestabilidad de esta dimensión.

• Dimensión de correlación
• Dimensiones del embalaje
• Exponente de incertidumbre
• Conjetura de Weyl-Berry
• Lacunaridad

• Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones . Chichester: John Wiley. pp. 38–47 . ISBN  0-471-92287-0. Zbl 0689.28003 . 
• Weisstein, Eric W. "Dimensión Minkowski-Bouligand" . MundoMatemático .

• FrakOut!: una aplicación de código abierto para calcular la dimensión fractal de una forma utilizando el método de conteo de cajas (no coloca automáticamente las cajas).
• FracLac: guía de usuario en línea y software ImageJ y complemento de conteo de cajas FracLac; software gratuito de código abierto y fácil de usar para el análisis de imágenes digitales en biología.