Problema de Minkowski para politopos

En la geometría de politopos convexos , el problema de Minkowski para politopos se refiere a la especificación de la forma de un politopo mediante las direcciones y medidas de sus facetas . ^{[ 1 ]} El teorema que establece que todo politopo está determinado unívocamente, salvo traslación, por esta información fue demostrado por Hermann Minkowski ; se le ha llamado "teorema de Minkowski", aunque el mismo nombre también se ha dado a varios resultados de Minkowski no relacionados. ^{[ 2 ]} El problema de Minkowski para politopos también debe distinguirse del problema de Minkowski sobre la especificación de formas convexas por su curvatura.

Para cualquier${\displaystyle d}$politopo de dimensión , se puede especificar su colección de direcciones y medidas de facetas mediante un conjunto finito de${\displaystyle d}$Vectores no nulos de dimensión , uno por faceta, apuntando perpendicularmente hacia afuera de la faceta, con longitud igual a la${\displaystyle (d-1)}$medida -dimensional de su faceta. ^{[ 3 ]} Para ser una especificación válida de un politopo acotado, estos vectores deben abarcar todo el${\displaystyle d}$espacio -dimensional, y no puede haber dos paralelos con el mismo signo. Además, su suma debe ser cero; este requisito corresponde a la observación de que, cuando el politopo se proyecta perpendicularmente sobre cualquier hiperplano , la medida proyectada de sus caras superiores y sus caras inferiores debe ser igual, porque las caras superiores se proyectan al mismo conjunto que las caras inferiores. ^{[ 1 ]}

Según un teorema de Hermann Minkowski , estas condiciones necesarias son suficientes: todo conjunto finito de vectores que abarca todo el espacio, no tiene dos paralelos con el mismo signo y cuya suma es cero, describe las direcciones y medidas de las facetas de un politopo. Además, la forma de este politopo está determinada unívocamente por esta información: dos politopos que dan lugar al mismo conjunto de vectores son traslaciones entre sí.

Los conjuntos de vectores que representan dos politopos se pueden sumar tomando la unión de ambos conjuntos y, cuando estos contienen vectores paralelos con el mismo signo, reemplazándolos por su suma. La operación resultante sobre las formas de los politopos se denomina suma de Blaschke . Se puede utilizar para descomponer politopos arbitrarios en símplices y politopos con simetría central en paralelepípedos . ^{[ 2 ]}

Con cierta información adicional (incluida la separación de la dirección y el tamaño de la faceta en un vector unitario y un número real, que puede ser negativo, proporcionando un bit adicional de información por faceta) es posible generalizar estos resultados de existencia y unicidad a ciertas clases de poliedros no convexos. ^{[ 4 ]}

También es posible especificar poliedros tridimensionales de forma única mediante la dirección y el perímetro de sus caras. El teorema de Minkowski y la unicidad de esta especificación por dirección y perímetro tienen una generalización común: siempre que dos poliedros convexos tridimensionales tengan la propiedad de que sus caras tengan la misma dirección y ninguna cara de un poliedro pueda traducirse en un subconjunto propio de la cara con la misma dirección del otro poliedro, los dos poliedros deben ser traslaciones uno del otro. Sin embargo, esta versión del teorema no se generaliza a dimensiones superiores. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Teorema de unicidad de Alexandrov
• Teorema de Cauchy (geometría)