Teorema de incrustación de Mitchell

El teorema de incrustación de Mitchell , también conocido como teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustación completa , es un resultado sobre categorías abelianas pequeñas . En él se afirma que estas categorías, aunque definidas abstractamente, pueden representarse como categorías concretas cuyos objetos son módulos . En particular, el resultado permite utilizar demostraciones de diagramas elemento a elemento en categorías abelianas. El teorema recibe su nombre de Barry Mitchell y Peter Freyd .

La afirmación precisa es la siguiente: si A es una pequeña categoría abeliana, entonces existe un anillo R (con  1, no necesariamente conmutativo) y un functor completo , fiel y exacto F : A → R -Mod (donde este último denota la categoría de todos los R -módulos izquierdos ).

El functor F establece una equivalencia entre A y una subcategoría completa de R -Mod, de tal manera que los núcleos y conúcleos calculados en A corresponden a los núcleos y conúcleos ordinarios calculados en R -Mod. Dicha equivalencia es necesariamente aditiva . Por lo tanto, el teorema esencialmente afirma que los objetos de A pueden considerarse como R -módulos, y los morfismos como aplicaciones R -lineales, donde los núcleos, conúcleos, secuencias exactas y sumas de morfismos se determinan como en el caso de los módulos. Sin embargo, los objetos proyectivos e inyectivos en A no necesariamente corresponden a R -módulos proyectivos e inyectivos .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$sea ​​la categoría de functores exactos izquierdos de la categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {A}}}$a la categoría de grupos abelianos${\displaystyle Ab}$. Primero construimos una incrustación contravariante${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$por${\displaystyle H(A)=h^{A}}$a pesar de${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, dónde${\displaystyle h^{A}}$es el functor hom covariante,${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$El lema de Yoneda afirma que${\displaystyle H}$es totalmente fiel y también obtenemos la exactitud izquierda de${\displaystyle H}$muy fácilmente porque${\displaystyle h^{A}}$ya se ha dejado exacto. La prueba de la exactitud correcta de${\displaystyle H}$es más difícil y se puede leer en Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 .

Después de eso demostramos que${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es una categoría abeliana mediante la teoría de localización (también Swan). Esta es la parte difícil de la demostración.

Es fácil comprobar que la categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es una categoría AB5 con un generador${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$En otras palabras, es una categoría de Grothendieck y, por lo tanto, tiene un cogenerador inyectivo.${\displaystyle I}$.

El anillo de endomorfismo${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$es el anillo que necesitamos para la categoría de módulos R.

Por${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$obtenemos otra incrustación contravariante, exacta y totalmente fiel${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$La composición${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$es la incrustación covariante exacta y totalmente fiel deseada.

Cabe destacar que la demostración del teorema de incrustación de Gabriel-Quillen para categorías exactas es casi idéntica.