Estrategia (teoría de juegos)

En la teoría de juegos aplicada, la definición de los conjuntos de estrategias es fundamental para lograr que un juego sea a la vez resoluble y significativo. El teórico de juegos puede utilizar el conocimiento del problema general, es decir, la fricción entre dos o más jugadores, para limitar los espacios de estrategias y facilitar la solución.

Por ejemplo, en el juego del Ultimátum, un jugador puede tener estrategias como: rechazar ofertas de ($1, $3, $5, ..., $19) o aceptar ofertas de ($0, $2, $4, ..., $20) . Incluir todas estas estrategias genera un espacio estratégico muy amplio y un problema bastante complejo. Un teórico de juegos podría, en cambio, considerar que puede limitar el conjunto de estrategias a: {Rechazar cualquier oferta ≤ x , aceptar cualquier oferta > x ; para x en ($0, $1, $2, ..., $20)}.

En un penalti de fútbol, ​​el lanzador debe elegir si patear hacia la derecha o la izquierda de la portería, y simultáneamente el portero debe decidir hacia dónde bloquearlo. Además, el lanzador tiene una dirección en la que es mejor disparar, que es la izquierda si es diestro. La matriz para el juego de fútbol ilustra esta situación, una forma simplificada del juego estudiado por Chiappori, Levitt y Groseclose (2002). ^{[ 3 ]} Se asume que si el portero adivina correctamente, el tiro es bloqueado, lo que se establece en la recompensa base de 0 para ambos jugadores. Si el portero adivina incorrectamente, es más probable que el tiro entre si es hacia la izquierda (recompensas de +2 para el lanzador y -2 para el portero) que si es hacia la derecha (la recompensa menor de +1 para el lanzador y -1 para el portero).

Este juego no tiene un equilibrio de estrategia pura, porque uno u otro jugador se desviaría de cualquier perfil de estrategias; por ejemplo, (Izquierda, Izquierda) no es un equilibrio porque el Kicker se desviaría hacia la Derecha y aumentaría su ganancia de 0 a 1.

El equilibrio de estrategia mixta del pateador se encuentra en el hecho de que se desviará de la aleatorización a menos que sus ganancias de Patada a la izquierda y Patada a la derecha sean exactamente iguales. Si el portero se inclina hacia la izquierda con probabilidad g, la ganancia esperada del pateador por Patada a la izquierda es g(0) + (1-g)(2), y por Patada a la derecha es g(1) + (1-g)(0). Igualando estas, se obtiene g = 2/3. De manera similar, el portero está dispuesto a aleatorizar solo si el pateador elige una probabilidad de estrategia mixta k tal que la ganancia de Inclinarse a la izquierda k(0) + (1-k)(-1) sea igual a la ganancia de Inclinarse a la derecha k(-2) + (1-k)(0), por lo que k = 1/3. Por lo tanto, el equilibrio de estrategia mixta es (Prob(Patada a la izquierda) = 1/3, Prob(Inclinarse a la izquierda) = 2/3).

En equilibrio, el pateador solo patea hacia su lado más favorable en 1/3 de las ocasiones. Esto se debe a que el portero cubre ese lado con mayor frecuencia. Además, en equilibrio, al pateador le es indiferente hacia dónde patea, pero para que exista un equilibrio, debe elegir con una probabilidad exacta de 1/3.

Chiappori, Levitt y Groseclose intentan medir la importancia de que el pateador lance hacia su lado preferido, incluyendo saques centrales, etc., y analizan el comportamiento de los jugadores profesionales. Descubren que, efectivamente, la aleatoriedad es clave: los pateadores lanzan hacia su lado preferido el 45% de las veces y los porteros lo hacen el 57%. Su artículo es un ejemplo conocido de cómo las personas utilizan estrategias mixtas en la vida real.

En su famoso artículo, John Forbes Nash demostró que existe un equilibrio para cada juego finito. Los equilibrios de Nash se pueden dividir en dos tipos: equilibrios de Nash de estrategia pura, donde todos los jugadores emplean estrategias puras; y equilibrios de Nash de estrategia mixta, donde al menos un jugador emplea una estrategia mixta. Si bien Nash demostró que cada juego finito tiene un equilibrio de Nash, no todos lo tienen. Para un ejemplo de un juego que no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, véase Matching pennies . Sin embargo, muchos juegos sí tienen equilibrios de Nash en estrategias puras (por ejemplo, el juego de coordinación , el dilema del prisionero , la caza del ciervo ). Además, los juegos pueden tener equilibrios tanto de estrategia pura como de estrategia mixta. Un ejemplo sencillo es el juego de coordinación pura, donde, además de las estrategias puras (A,A) y (B,B), existe un equilibrio mixto en el que ambos jugadores emplean cualquiera de las dos estrategias con una probabilidad de 1/2.

Durante la década de 1980, el concepto de estrategias mixtas fue duramente criticado por ser "intuitivamente problemático", ya que son equilibrios de Nash débiles, y un jugador es indiferente entre seguir la probabilidad de su estrategia de equilibrio o desviarse a alguna otra probabilidad. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El teórico de juegos Ariel Rubinstein describe formas alternativas de entender el concepto. La primera, debida a Harsanyi (1973), ^{[ 6 ]} se llama purificación , y supone que la interpretación de las estrategias mixtas simplemente refleja nuestra falta de conocimiento de la información de los jugadores y el proceso de toma de decisiones. Aparentemente, las elecciones aleatorias se ven entonces como consecuencias de factores exógenos no especificados e irrelevantes para la recompensa. ^{[ 5 ]} Una segunda interpretación imagina a los jugadores del juego representando una gran población de agentes. Cada agente elige una estrategia pura, y la recompensa depende de la fracción de agentes que eligen cada estrategia. La estrategia mixta representa, por lo tanto, la distribución de estrategias puras elegidas por cada población. Sin embargo, esto no proporciona ninguna justificación para el caso en que los jugadores son agentes individuales.

Más tarde, Aumann y Brandenburger (1995) ^{[ 7 ]} reinterpretaron el equilibrio de Nash como un equilibrio de creencias , en lugar de acciones. Por ejemplo, en piedra, papel o tijera, un equilibrio de creencias implicaría que cada jugador creyera que el otro tenía la misma probabilidad de jugar cada estrategia. Sin embargo, esta interpretación debilita el poder descriptivo del equilibrio de Nash, ya que en dicho equilibrio es posible que cada jugador juegue una estrategia pura de piedra en cada turno, aunque con el tiempo las probabilidades sean las de la estrategia mixta.

La equivalencia de resultados combina la estrategia mixta y conductual del Jugador i en relación con la estrategia pura de su oponente. Se define como la situación en la que, para cualquier estrategia mixta y conductual que adopte el Jugador i, en respuesta a cualquier estrategia pura de su oponente, la distribución de resultados de ambas estrategias debe ser igual. Esta equivalencia se puede describir mediante la siguiente fórmula: (Q^(U(i), S(-i)))(z) = (Q^(β(i), S(-i)))(z), donde U(i) describe la estrategia mixta del Jugador i, β(i) describe su estrategia conductual y S(-i) es la estrategia del oponente. ^{[ 8 ]}

La memoria perfecta se define como la capacidad de cada jugador para recordar todas las acciones pasadas dentro del juego. La memoria perfecta es necesaria para la equivalencia, ya que, en juegos finitos con memoria imperfecta, existirán estrategias mixtas del Jugador I en las que no habrá una estrategia de comportamiento equivalente. Esto se describe detalladamente en el juego del Conductor Distraído formulado por Piccione y Rubinstein. En resumen, este juego se basa en la toma de decisiones de un conductor con memoria imperfecta, que necesita tomar la segunda salida de la autopista para llegar a casa, pero no recuerda en qué intersección se encuentra al llegar a ella. La Figura [2] describe este juego.

Sin información perfecta (es decir, información imperfecta), los jugadores toman una decisión en cada nodo de decisión sin conocer las decisiones anteriores. Por lo tanto, la estrategia mixta de un jugador puede producir resultados que su estrategia conductual no puede, y viceversa. Esto se demuestra en el juego del Conductor Distraído . Con información y recuerdo perfectos, el conductor tiene una única estrategia pura, que es [continuar, salir], ya que sabe en qué intersección (o nodo de decisión) se encuentra al llegar a ella. Por otro lado, si solo se considera la etapa de planificación óptima, la recompensa máxima se obtiene continuando en ambas intersecciones, maximizada en p=2/3 (referencia). Este sencillo juego de un jugador demuestra la importancia del recuerdo perfecto para la equivalencia de resultados y su impacto en los juegos en forma normal y extendida. ^{[ 9 ]}