Método de elementos finitos mixtos

En el análisis numérico , el método de elementos finitos mixtos es un tipo de método de elementos finitos en el que se introducen campos adicionales a resolver durante el planteamiento de un problema de ecuación diferencial parcial . Algo relacionado es el método de elementos finitos híbridos. Los campos adicionales se restringen mediante el uso de campos multiplicadores de Lagrange . Para distinguirlos del método de elementos finitos mixtos, los métodos de elementos finitos habituales que no introducen dichos campos adicionales también se denominan métodos de elementos finitos irreducibles o primarios. ^[1] El método de elementos finitos mixtos es eficiente para algunos problemas que estarían numéricamente mal planteados si se discretizaran utilizando el método de elementos finitos irreducibles ; un ejemplo de tales problemas es calcular los campos de tensión y deformación en un cuerpo elástico casi incompresible .

En los métodos mixtos, los campos multiplicadores de Lagrange dentro de los elementos, generalmente hacen cumplir las ecuaciones diferenciales parciales aplicables. ^[2] Esto da como resultado un sistema de punto de silla que tiene pivotes y valores propios negativos, lo que hace que la matriz del sistema no esté definida, lo que genera complicaciones para resolverla. En los solucionadores directos dispersos, puede ser necesario pivotar, donde en última instancia la matriz resultante tiene bloques de 2x2 en la diagonal, ^[3] en lugar de trabajar hacia una descomposición de Cholesky LL ^H completamente pura para sistemas simétricos o hermíticos definidos positivos. El pivoteo puede resultar en aumentos impredecibles en el uso de memoria. [1] Para los solucionadores iterativos, solo funcionan los solucionadores basados ​​en GMRES , en lugar de los solucionadores basados ​​en MINRES ligeramente "más económicos" .

En los métodos híbridos, los campos de Lagrange son para saltos de campos entre elementos, que viven en el límite de los elementos, lo que hace cumplir débilmente la continuidad; la continuidad de los campos en los elementos ya no necesita ser impuesta a través de grados de libertad compartidos entre elementos. Tanto la mezcla como la hibridación se pueden aplicar simultáneamente. ^[4] Estas imposiciones son " débiles ", es decir, ocurren al tener las soluciones y posiblemente solo en algunos puntos o, por ejemplo, condiciones integrales de momento coincidentes, en lugar de "fuertes" en cuyo caso las condiciones se cumplen directamente en el tipo de soluciones buscadas. Aparte de los armónicos (generalmente la solución local semitrivial de las ecuaciones homogéneas con cargas cero), la hibridación permite la condensación de Guyan estática de los campos discontinuos internos a los elementos, reduciendo el número de grados de libertad y, además, reduciendo o eliminando el número de valores propios negativos y pivotes resultantes de la aplicación del método mixto.