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Modelo mixto

Un modelo mixto , modelo de efectos mixtos o modelo de componentes de error mixtos es un modelo estadístico que contiene tanto efectos fijos como efectos aleatorios . [ 1 ] [ 2 ...

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Un modelo mixto , modelo de efectos mixtos o modelo de componentes de error mixtos es un modelo estadístico que contiene tanto efectos fijos como efectos aleatorios . [ 1 ] [ 2 ] Estos modelos son útiles en una amplia variedad de disciplinas en las ciencias físicas, biológicas y sociales. Son particularmente útiles en entornos donde se realizan mediciones repetidas en las mismas unidades estadísticas (véase también estudio longitudinal ), o donde las mediciones se realizan en grupos de unidades estadísticas relacionadas. [ 2 ] Los modelos mixtos a menudo se prefieren a los modelos de regresión de análisis de varianza tradicionales porque no dependen del supuesto de observaciones independientes. Además, tienen su flexibilidad para manejar valores faltantes y espaciamiento desigual de mediciones repetidas. [ 3 ] El análisis de modelos mixtos permite modelar explícitamente las mediciones en una variedad más amplia de estructuras de correlación y varianza - covarianza evitando estimaciones sesgadas .

Esta página tratará principalmente sobre modelos lineales de efectos mixtos en lugar de modelos lineales generalizados de efectos mixtos o modelos no lineales de efectos mixtos . [ 4 ]

Descripción cualitativa

Los modelos lineales mixtos (MLM) son modelos estadísticos que incorporan efectos fijos y aleatorios para representar con precisión estructuras de datos no independientes. Los MLM son una alternativa al análisis de varianza (ANOVA). A menudo, el ANOVA asume la independencia estadística de las observaciones dentro de cada grupo; sin embargo, esta suposición puede no cumplirse en datos no independientes, como conjuntos de datos multinivel/ jerárquicos , longitudinales o correlacionados .

Los conjuntos no independientes son aquellos en los que la variabilidad entre los resultados se debe a correlaciones dentro de los grupos o entre ellos. Los modelos mixtos tienen en cuenta adecuadamente las estructuras anidadas /estructuras de datos jerárquicas, donde las observaciones están influenciadas por sus asociaciones anidadas. Por ejemplo, al estudiar métodos educativos que involucran múltiples escuelas, hay múltiples niveles de variables a considerar. El nivel individual/nivel inferior comprende a los estudiantes o profesores individuales dentro de la escuela. Las observaciones obtenidas de este estudiante/profesor están anidadas dentro de su escuela. Por ejemplo, el estudiante A es una unidad dentro de la Escuela A. El siguiente nivel superior es la escuela. En el nivel superior, la escuela contiene múltiples estudiantes y profesores individuales. El nivel de la escuela influye en las observaciones obtenidas de los estudiantes y profesores. Por ejemplo, la Escuela A y la Escuela B son los niveles superiores, cada uno con su conjunto de Estudiante A y Estudiante B respectivamente. Esto representa un esquema de datos jerárquico. Una solución para modelar datos jerárquicos es el uso de modelos lineales mixtos.

Representación de cómo los datos relacionados con el sistema educativo no son independientes y están estructurados en niveles anidados/jerárquicos.

Los LMM nos permiten comprender los efectos importantes entre y dentro de los niveles, al tiempo que incorporan las correcciones para los errores estándar por no independencia integradas en la estructura de datos. [ 4 ] [ 5 ] En campos experimentales como la psicología social, la psicolingüística, la psicología cognitiva (y la neurociencia), donde los estudios a menudo involucran múltiples variables de agrupación, no tener en cuenta los efectos aleatorios puede llevar a tasas de error de tipo I infladas y conclusiones poco fiables. [ 6 ] [ 7 ] Por ejemplo, al analizar datos de experimentos que involucran tanto muestras de participantes como muestras de estímulos (p. ej., imágenes, escenarios, etc.), ignorar la variación en cualquiera de estas variables de agrupación (p. ej., promediando sobre los estímulos) puede resultar en conclusiones engañosas. En tales casos, los investigadores pueden tratar tanto al participante como al estímulo como efectos aleatorios con LMM, y al hacerlo, pueden tener en cuenta correctamente la variación en sus datos a través de múltiples variables de agrupación. De manera similar, al analizar datos de encuestas longitudinales comparativas, no incluir efectos aleatorios en todos los niveles relevantes, como país y país-año, puede distorsionar significativamente los resultados. [ 8 ]

El efecto fijo

Los efectos fijos engloban las tendencias que se mantienen constantes en los niveles de interés principal. Estos efectos se consideran fijos porque no son aleatorios y se asume que son constantes para la población estudiada. [ 5 ] Por ejemplo, al estudiar la educación, un efecto fijo podría representar los efectos generales a nivel escolar que se mantienen constantes en todas las escuelas.

Si bien la jerarquía del conjunto de datos suele ser evidente, es necesario especificar los efectos fijos que afectan las respuestas promedio de todos los sujetos. Algunos coeficientes de efectos fijos son suficientes sin efectos aleatorios correspondientes, mientras que otros solo representan un promedio donde las unidades individuales son aleatorias. Estos pueden determinarse incorporando interceptos y pendientes aleatorios . [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

En la mayoría de los casos, se consideran varios modelos relacionados y se adopta el que mejor representa un modelo universal.

El efecto aleatorio, ε

Un componente clave del modelo mixto es la incorporación de efectos aleatorios junto con el efecto fijo. Los efectos fijos se ajustan a menudo para representar el modelo subyacente. En los modelos mixtos lineales, la regresión verdadera de la población es lineal, β. Los datos fijos se ajustan al nivel más alto. Los efectos aleatorios introducen variabilidad estadística en diferentes niveles de la jerarquía de datos. Estos explican las fuentes de varianza no medidas que afectan a ciertos grupos en los datos. Por ejemplo, las diferencias entre el estudiante 1 y el estudiante 2 en la misma clase, o las diferencias entre la clase 1 y la clase 2 en la misma escuela. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

Historial y situación actual

Representación de datos sesgados frente a datos no sesgados y las diferencias entre las estimaciones ajustadas mediante regresión de mínimos cuadrados (LSR) y un modelo lineal mixto (LMM).

Ronald Fisher introdujo modelos de efectos aleatorios para estudiar las correlaciones de valores de rasgos entre parientes. [ 12 ] En la década de 1950, Charles Roy Henderson proporcionó las mejores estimaciones lineales insesgadas de efectos fijos y las mejores predicciones lineales insesgadas de efectos aleatorios. [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] Posteriormente, el modelado mixto se ha convertido en un área importante de investigación estadística, incluyendo trabajos sobre el cálculo de estimaciones de máxima verosimilitud, modelos de efectos mixtos no lineales, datos faltantes en modelos de efectos mixtos y estimación bayesiana de modelos de efectos mixtos. Los modelos mixtos se aplican en muchas disciplinas donde se realizan múltiples mediciones correlacionadas en cada unidad de interés. Se utilizan prominentemente en investigaciones que involucran sujetos humanos y animales en campos que van desde la genética hasta el marketing, y también se han utilizado en el béisbol [ 17 ] y la estadística industrial. [ 18 ] La asociación del modelo lineal mixto ha mejorado la prevención de asociaciones falsas positivas. Las poblaciones están profundamente interconectadas y la estructura de parentesco de la dinámica poblacional es extremadamente difícil de modelar sin el uso de modelos mixtos. Sin embargo, los modelos lineales mixtos pueden no ser la única solución. Los modelos lineales mixtos tienen el supuesto de varianza residual constante , que a veces se incumple al considerar rasgos continuos y binarios profundamente asociados . [ 19 ]

Definición

En notación matricial, un modelo lineal mixto puede representarse como

y=incógnitaβ+Ztú+ϵ{\displaystyle {\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta }}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}}

dónde

  • y{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}es un vector conocido de observaciones, con mediami(y)=incógnitaβ{\displaystyle E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}};
  • β{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}es un vector desconocido de efectos fijos;
  • tú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}es un vector desconocido de efectos aleatorios, con mediami(tú)=0{\displaystyle E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}}y matriz de varianza-covarianzavar⁡(tú)=GRAMO{\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G};
  • ϵ{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}es un vector desconocido de errores aleatorios, con mediami(ϵ)=0{\displaystyle E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}y varianzavar⁡(ϵ)=R{\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R};
  • incógnita{\displaystyle X}es la matriz de diseño conocida para los efectos fijos que relacionan las observacionesy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}aβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}respectivamente
  • Z{\displaystyle Z}es la matriz de diseño conocida para los efectos aleatorios que relacionan las observacionesy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}atú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}, respectivamente.

Por ejemplo, si cada observación puede pertenecer a cero o más de k categorías, entonces Z , que tiene una fila por observación, puede elegirse para tener k columnas, donde un valor de 1 para un elemento de la matriz Z indica que se sabe que una observación pertenece a una categoría y un valor de 0 indica que se sabe que una observación no pertenece a una categoría. El valor inferido de u para una categoría es entonces una intersección específica de la categoría . Si Z tiene columnas adicionales, donde los valores distintos de cero son en cambio el valor de una variable independiente para una observación, entonces el valor inferido correspondiente de u es una pendiente específica de la categoría para esa variable independiente. La distribución previa para las intersecciones y pendientes de las categorías se describe mediante la matriz de covarianza G.

Estimación

La densidad conjunta dey{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}ytú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}se puede escribir como:F(y,tú)=F(y|tú)F(tú){\displaystyle f({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {u}})\,f({\boldsymbol {u}})}. Suponiendo normalidad,tú∼norte(0,GRAMO){\displaystyle {\boldsymbol {u}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},G)},ϵ∼norte(0,R){\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},R)}ydoov(tú,ϵ)=0{\displaystyle \mathrm {Cov} ({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}y maximizar la densidad conjunta sobreβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}ytú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}, proporciona las "ecuaciones de modelo mixto" (MME) de Henderson para modelos mixtos lineales: [ 13 ] [ 15 ] [ 20 ]

(incógnita′R−1incógnitaincógnita′R−1ZZ′R−1incógnitaZ′R−1Z+GRAMO−1)(β^tú^)=(incógnita′R−1yZ′R−1y){\displaystyle {\begin{pmatrix}X'R^{-1}X&X'R^{-1}Z\\Z'R^{-1}X&Z'R^{-1}Z+G^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}\\{\hat {\boldsymbol {u}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\\Z'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\end{pmatrix}}}

donde, por ejemplo, X ′ es la transpuesta de la matriz X y R −1 es la inversa de la matriz R.

Una formulación más compacta de lo anterior es

([incógnitaZ]′R−1[incógnitaZ]+GRAMO−1)[β^tú^]′=[incógnitaZ]′R−1y{\displaystyle ([XZ]'R^{-1}[XZ]+G^{-1})[{\hat {\boldsymbol {\beta }}}{\hat {\boldsymbol {u}}}]'=[XZ]'R^{-1}{\boldsymbol {y}}}

o con[incógnitaZ]=W{\displaystyle [XZ]=W},

(W′R−1W+GRAMO−1)[β^tú^]′=W′R−1y{\displaystyle (W'R^{-1}W+G^{-1})[{\hat {\boldsymbol {\beta }}}{\hat {\boldsymbol {u}}}]'=W'R^{-1}{\boldsymbol {y}}}

donde G −1 se convierte en

(000GRAMO−1){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&G^{-1}\end{pmatrix}}}

Las soluciones al MME,β^{\displaystyle \textstyle {\sombrero {\boldsymbol {\beta }}}}ytú^{\displaystyle \textstyle {\sombrero {\boldsymbol {u}}}}son las mejores estimaciones y predictores lineales insesgados paraβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}ytú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}, respectivamente. Esto es consecuencia del teorema de Gauss-Markov cuando la varianza condicional del resultado no es escalable a la matriz identidad. Cuando se conoce la varianza condicional, la estimación de mínimos cuadrados ponderados por la inversa de la varianza es la mejor estimación lineal insesgada. Sin embargo, la varianza condicional rara vez se conoce. Por lo tanto, es conveniente estimar conjuntamente la varianza y las estimaciones de parámetros ponderados al resolver MME.

Elección de la estructura de efectos aleatorios

Una decisión que deben tomar los analistas con los modelos mixtos es qué efectos aleatorios (es decir, variables de agrupación, interceptos aleatorios y pendientes aleatorias) incluir. Una recomendación destacada en el contexto de las pruebas de hipótesis confirmatorias [ 21 ] es adoptar una estructura de efectos aleatorios "máxima", que incluya todos los efectos aleatorios posibles justificados por el diseño experimental, como medio para controlar las tasas de error de tipo I.

Software

Un método utilizado para ajustar dichos modelos mixtos es el del algoritmo de expectativa-maximización (EM), donde los componentes de la varianza se tratan como parámetros de perturbación no observados en la verosimilitud conjunta. [ 22 ] Actualmente, este es el método implementado en software estadístico como Python (paquete statsmodels) y como paso inicial solo en el paquete nlme de R (lme()). La solución a las ecuaciones del modelo mixto es una estimación de máxima verosimilitud cuando la distribución de los errores es normal. [ 23 ] [ 24 ]

Los efectos fijos, mixtos y aleatorios influyen en los modelos de regresión lineal.

Existen otros métodos para ajustar modelos mixtos, incluyendo el uso inicial de un modelo de efectos mixtos (MEM) y, posteriormente, el método de Newton-Raphson (utilizado por lme() del paquete nlme de R [ 25 ] , SAS MIXED y SPSS MIXED), mínimos cuadrados penalizados para obtener una verosimilitud logarítmica perfilada que dependa únicamente de los parámetros de varianza-covarianza (de baja dimensión).tú{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}, es decir, su matriz de covarianzaGRAMO{\displaystyle {\boldsymbol {G}}}y luego la optimización directa moderna para esa función objetivo reducida (utilizada por el paquete lmer() de lme4 de R [ 26 ] y el paquete MixedModels.jl de Julia ) y la optimización directa de la verosimilitud (utilizada por ejemplo por glmmTMB de R ). Cabe destacar que, si bien la forma canónica propuesta por Henderson es útil para la teoría, muchos paquetes de software populares utilizan una formulación diferente para el cálculo numérico con el fin de aprovechar los métodos de matrices dispersas (por ejemplo, lme4 y MixedModels.jl).

En el contexto de los métodos bayesianos, el paquete brms proporciona una interfaz fácil de usar para ajustar modelos mixtos en R usando Stan, lo que permite la incorporación de distribuciones a priori y la estimación de distribuciones a posteriori. [ 27 ] [ 28 ] En Python, Bambi proporciona un enfoque igualmente simplificado para ajustar modelos de efectos mixtos usando PyMC. [ 29 ]

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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