Mezcla (matemáticas)

En matemáticas , la mezcla es un concepto abstracto que proviene de la física : el intento de describir el proceso termodinámico irreversible de mezcla en el mundo cotidiano: por ejemplo, mezclar pintura , mezclar bebidas , mezclar metales .

El concepto aparece en la teoría ergódica , el estudio de los procesos estocásticos y los sistemas dinámicos que conservan la medida . Existen varias definiciones de mezcla, incluyendo la mezcla fuerte , la mezcla débil y la mezcla topológica , esta última sin necesidad de definir una medida . Algunas de estas definiciones pueden ordenarse jerárquicamente; así, la mezcla fuerte implica la mezcla débil. Además, la mezcla débil (y por lo tanto también la fuerte) implica ergodicidad : es decir, todo sistema con mezcla débil es también ergódico (de ahí que se diga que la mezcla es una condición más estricta que la ergodicidad).

La definición matemática de mezcla tiene como objetivo capturar el proceso ordinario y cotidiano de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, mezcla de procesos industriales , humo en una habitación llena de humo, etc. Para proporcionar el rigor matemático, dichas descripciones comienzan con la definición de un sistema dinámico que conserva la medida , escrito como${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$.​

El conjunto${\displaystyle X}$Se entiende que es el espacio total que se va a llenar: el recipiente para mezclar, la habitación llena de humo, etc. La medida${\displaystyle \mu }$se entiende que define el volumen natural del espacio${\displaystyle X}$y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por ⁠${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y el tamaño de cualquier subconjunto dado${\displaystyle A\subset X}$es​${\displaystyle \mu (A)}$⁠ ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser el conjunto de potencias de${\displaystyle X}$⁠ ; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosamente, la paradoja de Banach-Tarski ). Por lo tanto, convencionalmente,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Consta de los subconjuntos medibles, es decir, los subconjuntos que tienen volumen. Siempre se considera un conjunto de Borel , la colección de subconjuntos que se pueden construir mediante intersecciones , uniones y complementos de conjuntos ; estos siempre se pueden considerar medibles.

La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa.${\displaystyle T:X\to X}$Dado algún subconjunto${\displaystyle A\subset X}$su mapa${\displaystyle T(A)}$en general será una versión deformada de${\displaystyle A}$– se aplasta o estira, se dobla o se corta en pedazos. Ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de herradura , ambos inspirados en la elaboración del pan . El conjunto${\displaystyle T(A)}$debe tener el mismo volumen que${\displaystyle A}$La compresión/estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Dicho sistema conserva las medidas (conserva el área y el volumen).

Surge una dificultad formal cuando se intenta conciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo una aplicación. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapearse al mismo punto en su rango; es decir, puede haber${\displaystyle x\neq y}$con​${\displaystyle T(x)=T(y)}$⁠ . Peor aún, un solo punto${\displaystyle x\in X}$no tiene tamaño. Estas dificultades pueden evitarse trabajando con el mapa inverso .${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$; mapeará cualquier subconjunto dado${\displaystyle A\subset X}$a las piezas que se ensamblaron para hacerlo: estas piezas son${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$⁠ . Tiene la importante propiedad de no "perder de vista" de dónde provienen las cosas. Más aún, tiene la importante propiedad de que cualquier mapa (que conserve la medida)${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$es la inversa de alguna aplicación${\displaystyle X\to X}$⁠ . La definición adecuada de un mapa que conserva el volumen es aquella para la cual${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$porque${\displaystyle T^{-1}(A)}$describe todas las piezas-partes que${\displaystyle A}$vino de.

Ahora se está interesado en estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$Finalmente visita todos los${\displaystyle X}$durante un largo período de tiempo (es decir, si${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$aborda todos los${\displaystyle X}$para grandes${\displaystyle n}$), se dice que el sistema es ergódico . Si cada conjunto${\displaystyle A}$se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservador , en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos${\displaystyle A}$vagar lejos , para no volver jamás. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que baja, nunca vuelve a subir. Sin embargo, el lago que se forma en el fondo de este río puede llegar a mezclarse bien. El teorema de descomposición de Hopf establece que todo espacio de medida puede dividirse en dos partes: la parte conservativa y la parte disipativa.

La mezcla es una afirmación más fuerte que la ergodicidad. La mezcla exige que esta propiedad ergódica se cumpla entre cualesquiera dos conjuntos .${\displaystyle A,B}$⁠ , y no solo entre algún conjunto${\displaystyle A}$y​${\displaystyle X}$⁠ . Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera ⁠${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$⁠ , se dice que un sistema es (topológicamente) mezclador si hay un entero${\displaystyle N}$de tal manera que, para todos${\displaystyle A,B}$y​${\displaystyle n>N}$⁠ , uno tiene eso${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$. Aquí,${\displaystyle \cap }$denota la intersección de conjuntos y${\displaystyle \varnothing }$es el conjunto vacío .

La definición anterior de mezcla topológica debería ser suficiente para proporcionar una idea informal de la mezcla (es equivalente a la definición formal, que se da a continuación). Sin embargo, no hizo mención del volumen de${\displaystyle A}$y​${\displaystyle B}$⁠ , y, de hecho, hay otra definición que trabaja explícitamente con el volumen. Varias, en realidad; una tiene tanto mezcla fuerte como mezcla débil; son inequivalentes, aunque un sistema de mezcla fuerte siempre es débilmente mezclador. Las definiciones basadas en medidas no son compatibles con la definición de mezcla topológica: hay sistemas que son una, pero no la otra. La situación general sigue siendo confusa: por ejemplo, dados tres conjuntos ⁠${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$Se puede definir la 3-mezcla. Hasta 2020, se desconoce si la 2-mezcla implica la 3-mezcla. (Si se considera la ergodicidad como "1-mezcla", entonces es evidente que la 1-mezcla no implica la 2-mezcla; existen sistemas ergódicos pero no mezclantes).

El concepto de mezcla fuerte se hace referencia al volumen de un par de conjuntos. Consideremos, por ejemplo, un conjunto${\displaystyle A}$de tinte de color que se está mezclando en una taza con algún tipo de líquido pegajoso, por ejemplo, jarabe de maíz, champú o similar. La experiencia práctica demuestra que mezclar líquidos pegajosos puede ser bastante difícil: normalmente hay algún rincón del recipiente donde es difícil que el tinte se mezcle. Elegir como conjunto${\displaystyle B}$ese rincón de difícil acceso. La cuestión de la mezcla es entonces, ¿se puede?${\displaystyle A}$, después de un período de tiempo suficientemente largo, no solo penetrar en${\displaystyle B}$pero también llenar${\displaystyle B}$¿Con la misma proporción que en otros lugares?

Una definición de mezcla fuerte se formula como el requisito de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

El parámetro de tiempo${\displaystyle n}$sirve para separar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con el tiempo, de modo que uno se está mezclando${\displaystyle A}$mientras se mantiene el volumen de prueba${\displaystyle B}$fijo. El producto${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$es un poco más sutil. Imagina que el volumen${\displaystyle B}$es el 10% del volumen total, y que el volumen de tinte${\displaystyle A}$también será el 10% del total general. Si${\displaystyle A}$está distribuido uniformemente, entonces ocupa el 10% de${\displaystyle B}$, que en sí mismo es el 10% del total, y por lo tanto, al final, después de mezclar, la parte de${\displaystyle A}$eso está en${\displaystyle B}$es el 1% del volumen total. Es decir,${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$Este producto de volúmenes guarda un parecido más que superficial con el teorema de Bayes en probabilidades; esto no es casualidad, sino una consecuencia de que la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad son la misma teoría: comparten los mismos axiomas (los axiomas de Kolmogorov ), aunque utilicen una notación diferente.

El motivo para usar${\displaystyle T^{-n}A}$en lugar de${\displaystyle T^{n}A}$en la definición es un poco sutil, pero se deriva de las mismas razones por las que ${\displaystyle T^{-1}A}$Se utilizó para definir el concepto de un mapa que conserva las medidas. Al observar la cantidad de tinte que se mezcló en la esquina${\displaystyle B}$, uno quiere ver de dónde "vino" ese tinte (presumiblemente, se vertió en la parte superior, en algún momento del pasado). Uno debe asegurarse de que cada lugar del que podría haber "vino" eventualmente se mezcle en${\displaystyle B}$.

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$Sea un sistema dinámico que conserva la medida , donde T es el operador de evolución temporal o de desplazamiento . Se dice que el sistema es de mezcla fuerte si, para cualquier${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$, uno tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Para desplazamientos parametrizados por una variable continua en lugar de un entero discreto n , se aplica la misma definición, con${\displaystyle T^{-n}}$reemplazado por${\displaystyle T_{g}}$donde g es el parámetro de tiempo continuo.

Se dice que un sistema dinámico es de mezcla débil si uno tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

En otras palabras,${\displaystyle T}$es una mezcla fuerte si${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$en el sentido habitual, mezcla débil si

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

en el sentido de Cesàro , y ergódico si${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$en el sentido de Cesàro. Por lo tanto, la mezcla fuerte implica la mezcla débil, lo que implica ergodicidad. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen sistemas dinámicos ergódicos que no son de mezcla débil, y sistemas dinámicos de mezcla débil que no son de mezcla fuerte. El sistema de Chacón fue históricamente el primer ejemplo dado de un sistema que es de mezcla débil pero no de mezcla fuerte. ^{[ 1 ]}

Teorema. La mezcla débil implica ergodicidad.

Prueba. Si la acción del mapa se descompone en dos componentes ⁠${\displaystyle A,B}$⁠ , entonces tenemos ⁠${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$⁠ , por lo que la mezcla débil implica ⁠${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$⁠ , así que uno de${\displaystyle A,B}$tiene medida cero, y el otro tiene medida completa.

Una forma de mezcla puede definirse sin recurrir a una medida , utilizando únicamente la topología del sistema. Un mapa continuo${\displaystyle f:X\to X}$Se dice que es topológicamente transitivo si, para cada par de conjuntos abiertos no vacíos,${\displaystyle A,B\subset X}$, existe un entero n tal que

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

dónde${\displaystyle f^{n}}$es la n -ésima iteración de f . En la teoría de operadores , un operador lineal acotado topológicamente transitivo (una aplicación lineal continua en un espacio vectorial topológico ) se denomina habitualmente operador hipercíclico .

Una idea relacionada se expresa mediante el conjunto errante ; de ​​hecho, un punto no es errante si

${\displaystyle \exists n>N\geq 0:f^{n}(U)\cap U\neq \varnothing }$

Es decir, la enésima imagen no está "demasiado lejos" de, y "todavía interseca", el vecindario inicial U. En el caso anterior "vaga" porque el conjunto B puede ser cualquier subconjunto en${\displaystyle \Omega }$^{[ 3 ] [ 4 ]}

Lema: Si X es un espacio métrico completo sin ningún punto aislado , entonces f es topológicamente transitiva si y solo si existe un punto hipercíclico.${\displaystyle x\in X}$, es decir, un punto x tal que su órbita${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$es denso en X.​

Se dice que un sistema es topológicamente mezclador si, dados conjuntos abiertos${\displaystyle A}$y​${\displaystyle B}$⁠ , existe un entero N , tal que, para todo ⁠${\displaystyle n>N}$⁠ , uno tiene

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$^{[ 5 ]}

Para un sistema de tiempo continuo,${\displaystyle f^{n}}$es reemplazado por el flujo ⁠${\displaystyle \varphi _{g}}$⁠ , donde g es el parámetro continuo, con el requisito de que exista una intersección no vacía para todos ⁠${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$.​

Una mezcla topológica débil es aquella que no tiene funciones propias continuas no constantes (con respecto a la topología) del operador de desplazamiento.

La mezcla topológica no implica, ni está implicada por, la mezcla débil o fuerte: existen ejemplos de sistemas que presentan mezcla débil pero no mezcla topológica, y ejemplos que presentan mezcla topológica pero no mezcla fuerte.

Dejar${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ser un proceso estocástico en un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$El espacio de secuencias en el que se pueden dotar a los mapas de procesos de una topología, la topología de producto . Los conjuntos abiertos de esta topología se denominan conjuntos de cilindros . Estos conjuntos de cilindros generan un σ-álgebra , el σ-álgebra de Borel ; este es el σ-álgebra más pequeño que contiene la topología.

Definir una función${\displaystyle \alpha }$, llamado coeficiente de mezcla fuerte , como

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

para todos${\displaystyle -\infty <s<\infty }$⁠ . El símbolo${\displaystyle X_{a}^{b}}$, con${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$denota una sub-σ-álgebra de la σ-álgebra; es el conjunto de conjuntos de cilindros que se especifican entre los tiempos a y b , es decir, la σ-álgebra generada por ⁠${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$.​

El proceso${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$Se dice que se está mezclando fuertemente si${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$como​${\displaystyle s\to \infty }$⁠ . Es decir, un proceso de mezcla fuerte es tal que, de una manera que es uniforme en todos los tiempos${\displaystyle t}$y todos los eventos, los eventos antes del tiempo${\displaystyle t}$y los acontecimientos posteriores al tiempo${\displaystyle t+s}$tienden a ser independientes como${\displaystyle s\to \infty }$En términos más coloquiales, el proceso, en cierto sentido, olvida su historia.