Universo Mixmaster

El universo Mixmaster (llamado así por Sunbeam Mixmaster, una marca de batidora eléctrica de cocina de Sunbeam Products ) ^{[ 1 ]} es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general estudiada por Charles Misner en 1969 en un esfuerzo por comprender mejor la dinámica del universo primitivo . ^{[ 2 ]} Esperaba resolver el problema del horizonte de forma natural demostrando que el universo primitivo atravesó una época oscilatoria y caótica .

El modelo es similar al universo cerrado de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker , en el sentido de que las secciones espaciales tienen una curvatura positiva y son topológicamente tres esferas.${\displaystyle S^{3}}$. Sin embargo, en el universo FRW, el${\displaystyle S^{3}}$solo puede expandirse o contraerse: el único parámetro dinámico es el tamaño general del${\displaystyle S^{3}}$, parametrizado por el factor de escala${\displaystyle a(t)}$. En el universo de Mixmaster, el${\displaystyle S^{3}}$Puede expandirse o contraerse, pero también distorsionarse anisotrópicamente. Su evolución se describe mediante un factor de escala.${\displaystyle a(t)}$así como por dos parámetros de forma${\displaystyle \beta _ {\pm}(t)}$Los valores de los parámetros de forma describen las distorsiones de la${\displaystyle S^{3}}$que conservan su volumen y también mantienen una curvatura de Ricci escalar constante. Por lo tanto, como los tres parámetros${\displaystyle a,\beta _ {\pm }}$Si se asumen valores diferentes, se conserva la homogeneidad , pero no la isotropía .

El modelo tiene una rica estructura dinámica. Misner demostró que los parámetros de forma${\displaystyle \beta _ {\pm}(t)}$Actúa como las coordenadas de una masa puntual que se mueve en un potencial triangular con paredes de fuerte pendiente y fricción. Al estudiar el movimiento de este punto, Misner demostró que el universo físico se expandiría en algunas direcciones y se contraería en otras, con direcciones de expansión y contracción que cambiarían repetidamente. Dado que el potencial es aproximadamente triangular, Misner sugirió que la evolución es caótica.

La métrica estudiada por Misner (ligeramente modificada respecto a su notación) viene dada por:

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{k=1}^{3}{L_{k}^{2}(t)}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

dónde

${\displaystyle L_{k}=R(t)e^{\beta _ {k}}}$

y el${\displaystyle \sigma _{k}}$, consideradas como formas diferenciales , se definen por

${\displaystyle \sigma _{1}=\sin \psi {\text{d}}\theta -\cos \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{2}=\cos \psi {\text{d}}\theta +\sin \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{3}=-{\text{d}}\psi -\cos \theta {\text{d}}\phi }$

En términos de las coordenadas${\displaystyle (\theta ,\psi ,\phi )}$Estos satisfacen

${\displaystyle {\text{d}}\sigma _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$

dónde${\displaystyle {\text{d}}}$es la derivada exterior y${\displaystyle \wedge }$el producto exterior de formas diferenciales. Las 1-formas${\displaystyle \sigma _{i}}$forman un co-marco invariante por la izquierda en el grupo de Lie SU(2) , que es difeomorfo a la 3- esfera${\displaystyle S^{3}}$, por lo que la métrica espacial en el modelo de Misner puede describirse concisamente como una métrica invariante por la izquierda en la 3-esfera; de hecho, salvo la acción adjunta de SU(2) , esta es en realidad la métrica invariante por la izquierda general . A medida que la métrica evoluciona a través de la ecuación de Einstein, la geometría de esta${\displaystyle S^{3}}$típicamente se distorsiona de forma anisotrópica. Misner define parámetros${\displaystyle \Omega (t)}$y${\displaystyle R(t)}$que miden el volumen de las secciones espaciales, así como los "parámetros de forma".${\displaystyle \beta _{k}}$, por

${\displaystyle R(t)=e^{-\Omega (t)}=(L_{1}(t)L_{2}(t)L_{3}(t))^{1/3},\quad \sum _{k=1}^{3}\beta _{k}(t)=0}$.

Dado que existe una condición en los tres${\displaystyle \beta _{k}}$, debería haber solo dos funciones libres, que Misner elige ser${\displaystyle \beta _{\pm }}$, definido como

${\displaystyle \beta _{+}=\beta _{1}+\beta _{2}=-\beta _{3},\quad \beta _{-}={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\sqrt {3}}}}$

La evolución del universo se describe entonces mediante el hallazgo de${\displaystyle \beta _{\pm }}$como funciones de${\displaystyle \Omega }$.

Misner esperaba que el caos agitara y suavizara el universo primitivo. Además, durante los períodos en los que una dirección era estática (por ejemplo, al pasar de la expansión a la contracción), formalmente el horizonte de Hubble${\displaystyle H^{-1}}$En esa dirección es infinito, lo que, según él, significaba que el problema del horizonte podía resolverse. Dado que las direcciones de expansión y contracción variaban, presumiblemente, con el tiempo suficiente, el problema del horizonte se resolvería en todas las direcciones.

Si bien constituye un ejemplo interesante de caos gravitacional, es ampliamente reconocido que los problemas cosmológicos que el universo de Mixmaster intenta resolver se abordan de manera más elegante mediante la inflación cósmica . La métrica que estudió Misner también se conoce como la métrica de tipo IX de Bianchi .

Antes de la década de 1970, la mayoría de los físicos creían que el interior de un agujero negro de Schwarzschild se curvaba hacia adentro, formando un punto agudo en la singularidad. Sin embargo, a finales de la década de 1960, los físicos soviéticos Vladimir Belinskii, Isaak Khalatnikov y Evgeny Lifshitz descubrieron que este modelo solo era válido cuando el espacio-tiempo dentro del agujero negro no había sido perturbado. Cualquier perturbación, como las causadas por la caída de materia o radiación, provocaría que el espacio oscilara caóticamente cerca de la singularidad, según la dinámica de Mixmaster. Cualquier materia que cayera experimentaría intensas fuerzas de marea que cambiarían rápidamente de dirección, mientras se comprimía en un volumen cada vez más pequeño. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

• Clasificación de Bianchi
• Singularidad BKL