Análisis modal mediante el método de elementos finitos (FEM).

El objetivo del análisis modal en mecánica estructural es determinar los modos de vibración y las frecuencias naturales de un objeto o estructura durante la vibración libre . Es común utilizar el método de elementos finitos (MEF) para realizar este análisis, ya que, al igual que otros cálculos que emplean el MEF, el objeto analizado puede tener una forma arbitraria y los resultados son aceptables. Las ecuaciones que surgen del análisis modal son las que se encuentran en los sistemas de autovalores . La interpretación física de los autovalores y autovectores que se obtienen al resolver el sistema es que representan las frecuencias y los modos de vibración correspondientes. En ocasiones, los únicos modos deseados son las frecuencias más bajas, ya que pueden ser los modos más prominentes en los que vibrará el objeto, dominando sobre todos los modos de frecuencia más alta.

También es posible analizar un objeto físico para determinar sus frecuencias naturales y modos de vibración. Esto se denomina análisis modal experimental . Los resultados del análisis físico pueden utilizarse para calibrar un modelo de elementos finitos y determinar si las suposiciones subyacentes eran correctas (por ejemplo, si se utilizaron las propiedades del material y las condiciones de contorno adecuadas).

Para el problema más básico que involucra un material elástico lineal que obedece la ley de Hooke , las ecuaciones matriciales toman la forma de un sistema dinámico tridimensional masa-resorte. La ecuación de movimiento generalizada se da como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][U]=[F]}$

dónde${\displaystyle [M]}$es la matriz de masas , ${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$es la segunda derivada temporal del desplazamiento ${\displaystyle [U]}$(es decir, la aceleración),${\displaystyle [{\dot {U}}]}$ es la velocidad,${\displaystyle [C]}$es una matriz de amortiguación, ${\displaystyle [K]}$es la matriz de rigidez, y${\displaystyle [F]}$ es el vector de fuerza. El problema general, con amortiguamiento distinto de cero, es un problema de valores propios cuadrático . Sin embargo, para el análisis modal vibracional, el amortiguamiento generalmente se ignora, dejando solo el primer y tercer término en el lado izquierdo:

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[K][U]=[0]}$

Esta es la forma general del sistema propio que se encuentra en la ingeniería estructural utilizando el método de elementos finitos (MEF) . Para representar las soluciones de vibración libre de la estructura, se asume un movimiento armónico. ^{[ 2 ]} Esta suposición significa que${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$ se toma igual${\displaystyle \lambda [U]}$, dónde${\displaystyle \lambda }$es un valor propio (con unidades de tiempo recíproco al cuadrado, por ejemplo,${\displaystyle \mathrm {s} ^{-2}}$). Usando esto, la ecuación se reduce a: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle [M][U]\lambda +[K][U]=[0]}$

En cambio, la ecuación para problemas estáticos es:

${\displaystyle [K][U]=[F]}$

lo cual es lo esperado cuando todos los términos que tienen una derivada temporal se establecen en cero.

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• Análisis sísmico
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• Modo propio
• Problema de valores propios cuadrático

• Frame3DD es un programa de análisis modal estructural 3D de código abierto.