Modo normal

En la teoría ondulatoria de la física y la ingeniería, un modo en un sistema dinámico es un estado de excitación de onda estacionaria , en el que todos los componentes del sistema se verán afectados sinusoidalmente a una frecuencia fija asociada con ese modo.

Dado que ningún sistema real puede ajustarse perfectamente al marco de la onda estacionaria, el concepto de modo se toma como una caracterización general de estados de oscilación específicos, tratando así el sistema dinámico de forma lineal , en la que se puede realizar una superposición lineal de estados.

Algunos ejemplos típicos son:

• En un sistema dinámico mecánico, una cuerda vibrante es el ejemplo más claro de un modo, en el que la cuerda es el medio, la tensión sobre la cuerda es la excitación y el desplazamiento de la cuerda con respecto a su estado estático es la variable modal.
• En un sistema dinámico acústico, un solo tono de sonido es un modo, en el que el aire es el medio, la presión sonora en el aire es la excitación y el desplazamiento de las moléculas de aire es la variable modal.
• En un sistema dinámico estructural, un edificio muy alto que oscila bajo su eje de mayor flexión es un modo en el que todo el material del edificio, bajo las simplificaciones numéricas adecuadas, es el medio, las solicitaciones sísmicas/de viento/ambientales son las excitaciones y los desplazamientos son la variable modal.
• En un sistema dinámico eléctrico, una cavidad resonante formada por paredes metálicas delgadas que encierran un espacio hueco, como en el caso de un acelerador de partículas, es un sistema de onda estacionaria pura y, por lo tanto, un ejemplo de un modo en el que el espacio hueco de la cavidad es el medio, la fuente de radiofrecuencia (un klistrón u otra fuente de radiofrecuencia) es la excitación y el campo electromagnético es la variable modal.
• En el ámbito musical , los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, tubos de aire, tambores, etc.) se denominan " armónicos ".

El concepto de modos normales también encuentra aplicación en otros sistemas dinámicos, como la óptica , la mecánica cuántica , la dinámica atmosférica y la dinámica molecular .

La mayoría de los sistemas dinámicos pueden excitarse en varios modos, posiblemente de forma simultánea. Cada modo se caracteriza por una o varias frecuencias, según el campo de variables modales. Por ejemplo, una cuerda vibrante en el espacio bidimensional se define por una sola frecuencia (desplazamiento axial unidimensional), mientras que una cuerda vibrante en el espacio tridimensional se define por dos frecuencias (desplazamiento axial bidimensional).

Para una amplitud dada en la variable modal, cada modo almacenará una cantidad específica de energía debido a la excitación sinusoidal.

El modo normal o dominante de un sistema con múltiples modos será el modo que almacene la cantidad mínima de energía para una amplitud dada de la variable modal, o, equivalentemente, para una cantidad dada de energía almacenada, el modo dominante será el modo que imponga la amplitud máxima de la variable modal.

Un modo de vibración se caracteriza por una frecuencia modal y una forma modal. Se numera según el número de semiondas que presenta. Por ejemplo, si una viga vibrante con ambos extremos fijos mostrara una forma modal de media onda sinusoidal (un pico en la viga vibrante), estaría vibrando en el modo 1. Si tuviera una onda sinusoidal completa (un pico y un valle), estaría vibrando en el modo 2.

En un sistema con dos o más dimensiones, como el disco de la imagen, a cada dimensión se le asigna un número de modo. Utilizando coordenadas polares , tenemos una coordenada radial y una angular. Si se mide desde el centro hacia afuera a lo largo de la coordenada radial, se encontrará una onda completa, por lo que el número de modo en la dirección radial es 2. La otra dirección es más compleja, ya que solo se considera la mitad del disco debido a la naturaleza antisimétrica (también llamada antisimetría ) de la vibración de un disco en la dirección angular. Por lo tanto, al medir 180° a lo largo de la dirección angular, se encontrará media onda, por lo que el número de modo en la dirección angular es 1. Así, el número de modo del sistema es 2–1 o 1–2, dependiendo de qué coordenada se considere la "primera" y cuál la "segunda" (por lo que es importante indicar siempre qué número de modo corresponde a cada dirección de la coordenada).

En los sistemas lineales, cada modo es completamente independiente de los demás. En general, todos los modos tienen frecuencias diferentes (los modos de menor frecuencia tienen frecuencias más bajas) y formas modales diferentes.

En un sistema unidimensional, en un modo de vibración determinado, la vibración presenta nodos, es decir, puntos donde el desplazamiento es siempre cero. Estos nodos corresponden a puntos en la forma modal donde el desplazamiento es cero. Dado que la vibración de un sistema viene dada por la forma modal multiplicada por una función temporal, el desplazamiento de los nodos permanece siempre cero.

Al expandirse a un sistema bidimensional, estos nodos se convierten en líneas donde el desplazamiento es siempre cero. Si observa la animación anterior, verá dos círculos (uno aproximadamente a medio camino entre el borde y el centro, y el otro sobre el borde mismo) y una línea recta que biseca el disco, donde el desplazamiento es cercano a cero. En un sistema idealizado, estas líneas son exactamente iguales a cero, como se muestra a la derecha.

Consideremos dos cuerpos iguales (no afectados por la gravedad), cada uno de masa m , unidos a tres resortes, cada uno con constante elástica k . Están unidos de la siguiente manera, formando un sistema físicamente simétrico:

donde los puntos de borde están fijos y no pueden moverse. Sea x ₁ ( t ) el desplazamiento horizontal de la masa izquierda, y x ₂ ( t ) el desplazamiento de la masa derecha.

Denotando la aceleración (la segunda derivada de x ( t ) con respecto al tiempo) como${\textstyle {\ddot {x}}}$Las ecuaciones de movimiento son :

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$$

Dado que esperamos un movimiento oscilatorio de un modo normal (donde ω es el mismo para ambas masas), intentamos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de movimiento obtenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

Si omitimos el factor exponencial (porque es común a todos los términos) y simplificamos, obtenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$$

Y en representación matricial :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$$

Si la matriz de la izquierda es invertible, la solución única es la solución trivial ( A ₁ , A ₂ ) = ( x ₁ , x ₂ ) = (0, 0) . Las soluciones no triviales se encuentran para aquellos valores de ω en los que la matriz de la izquierda es singular ; es decir, no es invertible. De ello se deduce que el determinante de la matriz debe ser igual a 0, por lo que:

$${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$$

Despejando ω , las dos soluciones positivas son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

Sustituyendo ω₁ en la matriz y despejando ( A₁ _, A₂ ₎ , se obtiene (1, 1) _. Sustituyendo ω₂ se obtiene (1, -1) _. (Estos vectores son autovectores y las frecuencias son autovalores ).

El primer modo normal es: $${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$$

Esto corresponde a que ambas masas se muevan en la misma dirección al mismo tiempo. Este modo se denomina antisimétrico.

El segundo modo normal es:

$${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$$

Esto corresponde a que las masas se muevan en direcciones opuestas, mientras que el centro de masas permanece fijo. Este modo se denomina simétrico.

La solución general es una superposición de los modos normales donde c ₁ , c ₂ , φ ₁ , y φ ₂ están determinados por las condiciones iniciales del problema.

El proceso que se muestra aquí puede generalizarse y formularse utilizando el formalismo de la mecánica lagrangiana o la mecánica hamiltoniana .

Una onda estacionaria es una forma continua de modo normal. En una onda estacionaria, todos los elementos espaciales (es decir, las coordenadas ( x , y , z ) ) oscilan a la misma frecuencia y en fase (alcanzando el punto de equilibrio simultáneamente), pero cada uno tiene una amplitud diferente.

La forma general de una onda estacionaria es:

$${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$$

donde f ( x , y , z ) representa la dependencia de la amplitud con la ubicación y el coseno/seno son las oscilaciones en el tiempo.

Físicamente, las ondas estacionarias se forman por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflexiones (aunque también se puede decir lo contrario; que una onda en movimiento es una superposición de ondas estacionarias). La forma geométrica del medio determina el patrón de interferencia y, por lo tanto, la forma f ( x , y , z ) de la onda estacionaria. Esta dependencia espacial se denomina modo normal .

Por lo general, para problemas con dependencia continua de ( x , y , z ), no existe un único modo normal ni un número finito de modos normales, sino un número infinito de ellos. Si el problema está acotado (es decir, está definido en una sección finita del espacio), existen modos normales numerables (generalmente numerados como n = 1, 2, 3, ... ). Si el problema no está acotado, existe un espectro continuo de modos normales.

En cualquier sólido, a cualquier temperatura, las partículas primarias (por ejemplo, átomos o moléculas) no son estacionarias, sino que vibran alrededor de posiciones medias. En los aislantes, la capacidad del sólido para almacenar energía térmica se debe casi por completo a estas vibraciones. Muchas propiedades físicas del sólido (por ejemplo, el módulo de elasticidad) pueden predecirse conociendo las frecuencias con las que vibran las partículas. La suposición más simple (de Einstein) es que todas las partículas oscilan alrededor de sus posiciones medias con la misma frecuencia natural ν . Esto es equivalente a suponer que todos los átomos vibran independientemente con una frecuencia ν . Einstein también supuso que los estados de energía permitidos de estas oscilaciones son armónicos, o múltiplos enteros de hν . El espectro de formas de onda puede describirse matemáticamente mediante una serie de Fourier de fluctuaciones de densidad sinusoidales (o fonones térmicos ).

Posteriormente, Debye reconoció que cada oscilador está íntimamente acoplado a sus osciladores vecinos en todo momento. Así, al reemplazar los osciladores idénticos y desacoplados de Einstein por el mismo número de osciladores acoplados, Debye correlacionó las vibraciones elásticas de un sólido unidimensional con el número de modos de vibración matemáticamente especiales de una cuerda tensada (véase la figura). El tono puro de menor frecuencia se denomina fundamental, y sus múltiplos se llaman armónicos. Asignó a uno de los osciladores la frecuencia de la vibración fundamental de todo el bloque sólido. Asignó a los osciladores restantes las frecuencias de los armónicos de ese fundamental, estando la más alta de todas estas frecuencias limitada por el movimiento de la unidad primaria más pequeña.

Los modos normales de vibración de un cristal son, en general, superposiciones de múltiples armónicos, cada uno con su amplitud y fase correspondientes. Los fonones de mayor longitud de onda (baja frecuencia) son precisamente las vibraciones acústicas que se consideran en la teoría del sonido. Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden propagarse a través de un sólido, mientras que, por lo general, solo las ondas longitudinales se propagan en los fluidos.

En el modo longitudinal , el desplazamiento de las partículas respecto a sus posiciones de equilibrio coincide con la dirección de propagación de la onda. Las ondas mecánicas longitudinales también se conocen como ondas de compresión . En los modos transversales , las partículas individuales se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

Según la teoría cuántica, la energía media de un modo vibracional normal de un sólido cristalino con frecuencia característica ν es:

$${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$$

El término (1/2) hν representa la " energía de punto cero ", o la energía que tendrá un oscilador en el cero absoluto. E ( ν ) tiende al valor clásico kT a altas temperaturas.

$${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$$

Conociendo la fórmula termodinámica,

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$$

La entropía por modo normal es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$$

La energía libre es:

$${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$$

lo cual, para kT ≫ hν , tiende a:

$${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$$

Para calcular la energía interna y el calor específico, debemos conocer el número de modos vibracionales normales con una frecuencia comprendida entre los valores ν y ν + dν . Sea este número f ( ν ) dν . Dado que el número total de modos normales es 3 N , la función f ( ν ) viene dada por:

$${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$$

La integración se realiza sobre todas las frecuencias del cristal. Entonces, la energía interna U vendrá dada por:

$${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$$