Teoría de modelos

Una fórmula de primer orden se construye a partir de fórmulas atómicas como${\displaystyle R(f(x,y),z)}$o${\displaystyle y=x+1}$mediante los conectores booleanos${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$y la adición de prefijos a los cuantificadores${\displaystyle \forall v}$o${\displaystyle \exists v}$Una oración es una fórmula en la que cada aparición de una variable está dentro del alcance de un cuantificador correspondiente. Ejemplos de fórmulas son:${\displaystyle \varphi }$(o${\displaystyle \varphi (x)}$para indicar${\displaystyle x}$es la variable no ligada en${\displaystyle \varphi }$) y${\displaystyle \psi }$(o${\displaystyle \psi (x)}$), definido de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

(Nótese que el símbolo de igualdad tiene aquí un doble significado). Es intuitivamente claro cómo traducir tales fórmulas a un significado matemático. En el semianillo de los números naturales${\displaystyle {\mathcal {N}}}$, visto como una estructura con funciones binarias para la suma y la multiplicación y constantes para 0 y 1 de los números naturales, por ejemplo, un elemento${\displaystyle n}$satisface la fórmula${\displaystyle \varphi }$si y solo si${\displaystyle n}$es un número primo. La fórmula${\displaystyle \psi }$De manera similar define la irreductibilidad . Tarski dio una definición rigurosa, a veces llamada "la definición de verdad de Tarski" , para la relación de satisfacción.${\displaystyle \models }$, de modo que se puede demostrar fácilmente:

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$es un número primo.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$es irreductible.

Un conjunto${\displaystyle T}$Un conjunto de oraciones se denomina teoría (de primer orden) , que toma las oraciones del conjunto como sus axiomas. Una teoría es satisfacible si tiene un modelo.${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$, es decir, una estructura (de la signatura apropiada) que satisface todas las oraciones del conjunto${\displaystyle T}$Una teoría completa es aquella que contiene todas las oraciones o sus negaciones. La teoría completa de todas las oraciones satisfechas por una estructura también se denomina teoría de dicha estructura .

Como consecuencia del teorema de completitud de Gödel (que no debe confundirse con sus teoremas de incompletitud ), una teoría tiene un modelo si y solo si es consistente , es decir, si no demuestra ninguna contradicción. Por lo tanto, los teóricos de modelos suelen usar "consistente" como sinónimo de "satisfacible".

Una firma o lenguaje es un conjunto de símbolos no lógicos, de modo que cada símbolo es un símbolo constante o un símbolo de función o relación con una aridad especificada . Cabe señalar que en algunas publicaciones, los símbolos constantes se consideran símbolos de función con aridad cero y, por lo tanto, se omiten. Una estructura es un conjunto${\displaystyle M}$junto con interpretaciones de cada uno de los símbolos de la firma como relaciones y funciones en${\displaystyle M}$(que no debe confundirse con la noción formal de una " interpretación " de una estructura en otra).

Ejemplo: Una firma común para anillos ordenados es${\displaystyle \sigma _{or}=(0,1,+,\times ,-,<)}$, dónde${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$son símbolos de función 0-aria (también conocidos como símbolos constantes),${\displaystyle +}$y${\displaystyle \times }$son símbolos de funciones binarias (= 2-arias),${\displaystyle -}$es un símbolo de función unaria (= 1-aria), y${\displaystyle <}$es un símbolo de relación binaria. Entonces, cuando estos símbolos se interpretan para que correspondan con su significado habitual en${\displaystyle \mathbb {Q} }$(de modo que, por ejemplo,${\displaystyle +}$es una función de${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$a${\displaystyle \mathbb {Q} }$y${\displaystyle <}$es un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$), se obtiene una estructura${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$.

Una estructura${\displaystyle {\mathcal {N}}}$Se dice que modela un conjunto de oraciones de primer orden.${\displaystyle T}$en el idioma dado si cada oración en${\displaystyle T}$es cierto en${\displaystyle {\mathcal {N}}}$con respecto a la interpretación de la firma previamente especificada para${\displaystyle {\mathcal {N}}}$. (De nuevo, no debe confundirse con la noción formal de una " interpretación " de una estructura en otra) Un modelo de${\displaystyle T}$es una estructura que modela${\displaystyle T}$.

Una subestructura${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de una estructura σ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de su dominio, cerrado bajo todas las funciones en su signatura σ, que se considera una σ-estructura al restringir todas las funciones y relaciones en σ al subconjunto. Esto generaliza los conceptos análogos del álgebra; por ejemplo, un subgrupo es una subestructura en la signatura con multiplicación e inverso.

Se dice que una subestructura es elemental si para cualquier fórmula de primer orden${\displaystyle \varphi }$y cualquier elemento a ₁ , ..., a _n de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$si y solo si${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$.

En particular, si${\displaystyle \varphi }$es una oración y${\displaystyle {\mathcal {A}}}$una subestructura elemental de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}\modelos \varphi }$si y solo si${\displaystyle {\mathcal {B}}\modelos \varphi }$Por lo tanto, una subestructura elemental es un modelo de una teoría precisamente cuando la superestructura es un modelo.

Ejemplo: Mientras que el campo de los números algebraicos${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$es una subestructura elemental del campo de los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$, el campo racional${\displaystyle \mathbb {Q} }$no lo es, ya que podemos expresar "Hay una raíz cuadrada de 2" como una oración de primer orden satisfecha por${\displaystyle \mathbb {C} }$pero no por${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Una incrustación de una estructura σ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$en otra estructura σ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una aplicación f : A → B entre los dominios que se puede escribir como un isomorfismo de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$con una subestructura de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Si se puede escribir como un isomorfismo con una subestructura elemental, se denomina incrustación elemental. Toda incrustación es un homomorfismo inyectivo , pero lo contrario solo se cumple si la signatura no contiene símbolos de relación, como en los grupos o cuerpos.

Un cuerpo o un espacio vectorial puede considerarse un grupo (conmutativo) simplemente ignorando parte de su estructura. La noción correspondiente en teoría de modelos es la de una reducción de una estructura a un subconjunto de la signatura original. La relación opuesta se denomina expansión ; por ejemplo, el grupo (aditivo) de los números racionales , considerado como una estructura con la signatura {+,0}, puede expandirse a un cuerpo con la signatura { × ,+,1,0} o a un grupo ordenado con la signatura {+,0,<}.

De forma similar, si σ' es una signatura que extiende otra signatura σ, entonces una teoría σ' completa puede restringirse a σ al intersecar el conjunto de sus oraciones con el conjunto de fórmulas σ. A la inversa, una teoría σ completa puede considerarse una teoría σ', y se puede extender (de más de una manera) a una teoría σ' completa. Los términos «reducción» y «expansión» también se aplican a veces a esta relación.

El teorema de compacidad establece que un conjunto de sentencias S es satisfacible si todo subconjunto finito de S es satisfacible. La afirmación análoga con " consistente" en lugar de "satisfacible" es trivial, ya que toda prueba puede tener solo un número finito de antecedentes. El teorema de completitud nos permite transferir esto a la satisfacibilidad. Sin embargo, también existen varias demostraciones directas (semánticas) del teorema de compacidad. Como corolario (es decir, su contrapositiva), el teorema de compacidad afirma que toda teoría de primer orden insatisfacible tiene un subconjunto finito insatisfacible. Este teorema es de vital importancia en la teoría de modelos, donde la expresión "por compacidad" es común. ^{[ 5 ]}

Otro pilar fundamental de la teoría de modelos de primer orden es el teorema de Löwenheim-Skolem . Según este teorema, toda estructura infinita en una signatura numerable tiene una subestructura elemental numerable. Recíprocamente, para cualquier cardinal infinito κ, toda estructura infinita en una signatura numerable con cardinalidad menor que κ puede incrustarse elementalmente en otra estructura de cardinalidad κ (existe una generalización directa a signaturas no numerables). En particular, el teorema de Löwenheim-Skolem implica que cualquier teoría en una signatura numerable con modelos infinitos tiene un modelo numerable, así como modelos arbitrariamente grandes. ^{[ 6 ]}

En cierto sentido, preciso por el teorema de Lindström , la lógica de primer orden es la lógica más expresiva para la cual se cumplen tanto el teorema de Löwenheim-Skolem como el teorema de compacidad. ^{[ 7 ]}

En la teoría de modelos, los conjuntos definibles son objetos de estudio importantes. Por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {N} }$la fórmula

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

define el subconjunto de números primos, mientras que la fórmula

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

define el subconjunto de números pares. De manera similar, las fórmulas con n variables libres definen subconjuntos de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$. Por ejemplo, en un campo, la fórmula

${\displaystyle y=x\times x}$

define la curva de todos${\displaystyle (x,y)}$de tal manera que${\displaystyle y=x^{2}}$.

Ambas definiciones mencionadas aquí no tienen parámetros , es decir, las fórmulas que las definen no mencionan ningún elemento fijo del dominio. Sin embargo, también se pueden considerar definiciones con parámetros del modelo . Por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {R} }$, la fórmula

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

utiliza el parámetro${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle \mathbb {R} }$para definir una curva. ^{[ 8 ]}

En general, los conjuntos definibles sin cuantificadores son fáciles de describir, mientras que los conjuntos definibles que involucran cuantificadores posiblemente anidados pueden ser mucho más complicados. ^{[ 9 ]}

Esto convierte la eliminación de cuantificadores en una herramienta crucial para analizar conjuntos definibles: Una teoría T tiene eliminación de cuantificadores si toda fórmula de primer orden φ ( x ₁ , ..., x _n ) sobre su signatura es equivalente módulo T a una fórmula de primer orden ψ ( x ₁ , ..., x _n ) sin cuantificadores, es decir${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$se cumple en todos los modelos de T. ^{[ 10} ] Si la teoría de una estructura tiene eliminación de cuantificadores, todo conjunto definible en una estructura es definible por una fórmula sin cuantificadores sobre los mismos parámetros que la definición original. Por ejemplo, la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados en el anillo de signatura ^σ ₌ ( ×,+,−,0,1) tiene eliminación de cuantificadores. ^{[ 11 ]} Esto significa que en un cuerpo algebraicamente cerrado, toda fórmula es equivalente a una combinación booleana de ecuaciones entre polinomios.

Si una teoría no posee eliminación de cuantificadores, se pueden agregar símbolos adicionales a su signatura para que la posea. Los resultados de axiomatizabilidad y eliminación de cuantificadores para teorías específicas, especialmente en álgebra, fueron algunos de los primeros resultados trascendentales de la teoría de modelos. ^{[ 12 ]} Pero a menudo, en lugar de la eliminación de cuantificadores, basta con una propiedad más débil:

Una teoría T se denomina modelo-completa si toda subestructura de un modelo de T que a su vez es un modelo de T es una subestructura elemental. Existe un criterio útil para comprobar si una subestructura es una subestructura elemental, denominado prueba de Tarski-Vaught . ^{[ 6 ]} De este criterio se deduce que una teoría T es modelo-completa si y solo si toda fórmula de primer orden φ ( x ₁ , ..., x _n ) sobre su signatura es equivalente módulo T a una fórmula existencial de primer orden, es decir, una fórmula de la siguiente forma:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

donde ψ no contiene cuantificadores. Una teoría que no es modelo-completa puede tener una completitud de modelo , que es una teoría modelo-completa relacionada que, en general, no es una extensión de la teoría original. Una noción más general es la de un modelo compañero . ^{[ 13 ]}

En cada estructura, cada subconjunto finito${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$es definible con parámetros: simplemente use la fórmula

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$.

Dado que podemos negar esta fórmula, todo subconjunto cofinito (que incluye todos los elementos del dominio excepto un número finito de ellos) también es siempre definible.

Esto lleva al concepto de una estructura mínima . Una estructura${\displaystyle {\mathcal {M}}}$se denomina mínimo si cada subconjunto${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$definible con parámetros de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es finito o cofinito. El concepto correspondiente a nivel de teorías se denomina minimalidad fuerte : una teoría T se denomina fuertemente mínima si todo modelo de T es mínimo. Una estructura se denomina fuertemente mínima si la teoría de esa estructura es fuertemente mínima. De forma equivalente, una estructura es fuertemente mínima si toda extensión elemental es mínima. Dado que la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados posee eliminación de cuantificadores, todo subconjunto definible de un cuerpo algebraicamente cerrado se puede definir mediante una fórmula sin cuantificadores en una variable. Las fórmulas sin cuantificadores en una variable expresan combinaciones booleanas de ecuaciones polinómicas en una variable, y dado que una ecuación polinómica no trivial en una variable tiene solo un número finito de soluciones, la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados es fuertemente mínima. ^{[ 14 ]}

Por otro lado, el campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales no es mínimo: Consideremos, por ejemplo, el conjunto definible

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\existe y(y\times y=x)}$.

Esto define el subconjunto de números reales no negativos, que no es ni finito ni cofinito. De hecho, se puede utilizar${\displaystyle \varphi }$para definir intervalos arbitrarios en la recta numérica real. Resulta que estos son suficientes para representar cada subconjunto definible de${\displaystyle \mathbb {R} }$. ^{[ 15 ]} Esta generalización de minimalidad ha sido muy útil en la teoría de modelos de estructuras ordenadas. Una estructura densamente totalmente ordenada${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en una firma que incluye un símbolo para la relación de orden se llama o-minimal si cada subconjunto${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$definible con parámetros de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es una unión finita de puntos e intervalos. ^{[ 16 ]}

Particularmente importantes son aquellos conjuntos definibles que también son subestructuras, es decir, contienen todas las constantes y son cerrados bajo la aplicación de funciones. Por ejemplo, se pueden estudiar los subgrupos definibles de un grupo determinado. Sin embargo, no es necesario limitarse a subestructuras con la misma signatura. Dado que las fórmulas con n variables libres definen subconjuntos de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$Las relaciones n -arias también pueden ser definibles. Las funciones son definibles si el gráfico de la función es una relación definible, y las constantes${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$son definibles si existe una fórmula${\displaystyle \varphi (x)}$de tal manera que a es el único elemento de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de tal manera que${\displaystyle \varphi (a)}$Es cierto. De esta forma, se pueden estudiar grupos y cuerpos definibles en estructuras generales, por ejemplo, lo cual ha sido importante en la teoría de la estabilidad geométrica.

Incluso se puede ir un paso más allá y trascender las subestructuras inmediatas. Dada una estructura matemática, con frecuencia existen estructuras asociadas que pueden construirse como un cociente de una parte de la estructura original mediante una relación de equivalencia. Un ejemplo importante es un grupo cociente de un grupo. Se podría decir que para comprender la estructura completa hay que comprender estos cocientes. Cuando la relación de equivalencia es definible, podemos dar a la oración anterior un significado preciso. Decimos que estas estructuras son interpretables . Un hecho clave es que se pueden traducir oraciones del lenguaje de las estructuras interpretadas al lenguaje de la estructura original. Por lo tanto, se puede demostrar que si una estructura${\displaystyle {\mathcal {M}}}$interpreta otra cuya teoría es indecidible, entonces${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en sí mismo es indecidible. ^{[ 17 ]}

Para una secuencia de elementos${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$de una estructura${\displaystyle {\mathcal {M}}}$y un subconjunto A de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, se puede considerar el conjunto de todas las fórmulas de primer orden${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$con parámetros en A que se satisfacen por${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$. Esto se denomina el tipo (n) completo realizado por${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$sobre A . Si existe un automorfismo de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$que es constante en A y envía${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$a${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$respectivamente, entonces${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$y${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$realizar el mismo tipo completo sobre A.

La recta numérica real${\displaystyle \mathbb {R} }$, vista como una estructura con solo la relación de orden {<}, servirá como ejemplo continuo en esta sección. Cada elemento${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$satisface el mismo 1-tipo sobre el conjunto vacío. Esto es claro ya que cualesquiera dos números reales a y b están conectados por el automorfismo de orden que desplaza todos los números por ba . El 2-tipo completo sobre el conjunto vacío realizado por un par de números${\displaystyle a_{1},a_{2}}$depende de su orden: o${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$,${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$o${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$. Sobre el subconjunto${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$En el caso de los números enteros, el tipo 1 de un número real no entero a depende de su valor redondeado hacia abajo al entero más cercano.

En términos más generales, siempre que${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es una estructura y A un subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, un n-tipo (parcial) sobre A es un conjunto de fórmulas p con como máximo n variables libres que se realizan en una extensión elemental${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Si p contiene cada una de esas fórmulas o su negación, entonces p es completo . El conjunto de n -tipos completos sobre A se suele escribir como${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$. Si A es el conjunto vacío, entonces el espacio de tipos solo depende de la teoría${\displaystyle T}$de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. La notación${\displaystyle S_{n}(T)}$se usa comúnmente para el conjunto de tipos sobre el conjunto vacío consistente con${\displaystyle T}$Si existe una única fórmula${\displaystyle \varphi }$de tal manera que la teoría de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$implica${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$para cada fórmula${\displaystyle \psi }$en p , entonces p se llama aislado .

Dado que los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$son arquimedianos , no hay ningún número real mayor que cualquier entero. Sin embargo, un argumento de compacidad muestra que existe una extensión elemental de la recta numérica real en la que hay un elemento mayor que cualquier entero. Por lo tanto, el conjunto de fórmulas${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$es un tipo 1 sobre${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$que no se materializa en la recta numérica real${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Un subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$que se pueden expresar exactamente como esos elementos de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$Realizar un cierto tipo sobre A se denomina definible por tipo sobre A. Para un ejemplo algebraico, supongamos que${\displaystyle M}$es un cuerpo algebraicamente cerrado . La teoría tiene eliminación de cuantificadores. Esto nos permite demostrar que un tipo está determinado exactamente por las ecuaciones polinómicas que contiene. Por lo tanto, el conjunto de completos${\displaystyle n}$-tipos sobre un subcampo${\displaystyle A}$corresponde al conjunto de ideales primos del anillo polinomial${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$y los conjuntos definibles por tipo son exactamente las variedades afines. ^{[ 18 ]}

Si bien no todos los tipos se realizan en todas las estructuras, todas las estructuras realizan sus tipos aislados. Si los únicos tipos sobre el conjunto vacío que se realizan en una estructura son los tipos aislados, entonces la estructura se denomina atómica .

Por otro lado, ninguna estructura realiza todos los tipos sobre todos los conjuntos de parámetros; si uno toma todos${\displaystyle {\mathcal {M}}}$como el conjunto de parámetros, entonces cada tipo 1 sobre${\displaystyle {\mathcal {M}}}$realizado en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$se aísla mediante una fórmula de la forma a = x para un${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$Sin embargo, cualquier extensión elemental adecuada de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$contiene un elemento que no está en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Por lo tanto, se ha introducido una noción más débil que captura la idea de una estructura que realiza todos los tipos que se podría esperar que realizara. Una estructura se denomina saturada si realiza todos los tipos sobre un conjunto de parámetros.${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$que es de menor cardinalidad que${\displaystyle {\mathcal {M}}}$sí mismo.

Si bien un automorfismo que es constante en A siempre preservará los tipos sobre A , generalmente no es cierto que cualesquiera dos secuencias${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$y${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$que satisfacen el mismo tipo sobre A pueden mapearse entre sí mediante dicho automorfismo. Una estructura${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en el que este recíproco se cumple para todos los A de menor cardinalidad que${\displaystyle {\mathcal {M}}}$se denomina (fuertemente) homogéneo .

La recta numérica real es atómica en el lenguaje que contiene solo el orden${\displaystyle <}$, ya que todos los n -tipos sobre el conjunto vacío realizados por${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$están aislados por las relaciones de orden entre los${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$Sin embargo, no está saturado, ya que no realiza ningún 1-tipo sobre el conjunto numerable.${\displaystyle \mathbb {Z} }$eso implica que x es mayor que cualquier número entero. La recta numérica racional${\displaystyle \mathbb {Q} }$está saturado, en cambio, ya que${\displaystyle \mathbb {Q} }$es en sí mismo contable y, por lo tanto, solo tiene que realizar tipos sobre subconjuntos finitos para estar saturado. ^{[ 19 ]}

El conjunto de subconjuntos definibles de${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$sobre algunos parámetros${\displaystyle A}$es un álgebra booleana . Por el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas, existe un espacio topológico dual natural , que consiste exactamente en el completo${\displaystyle n}$-tipos sobre${\displaystyle A}$. La topología generada por conjuntos de la forma${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$para fórmulas individuales${\displaystyle \varphi }$. Esto se denomina espacio de Stone de n-tipos sobre A. [ ^{20 ] Esta} topología explica parte de la terminología utilizada en la teoría de modelos: El teorema de compacidad dice que el espacio de Stone es un espacio topológico compacto, y un tipo p está aislado si y solo si p es un punto aislado en la topología de Stone.

Mientras que los tipos en cuerpos algebraicamente cerrados corresponden al espectro del anillo de polinomios, la topología en el espacio de tipos es la topología construible : un conjunto de tipos es abierto básico si y solo si es de la forma${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$o de la forma${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$. Esto es más fino que la topología de Zariski . ^{[ 21 ]}

Construir modelos que realicen ciertos tipos y no otros es una tarea importante en la teoría de modelos. No realizar un tipo se denomina omitirlo , y generalmente es posible mediante el teorema de omisión de tipos (contables) :

Dejar${\displaystyle {\mathcal {T}}}$sea ​​una teoría en una signatura contable y deje que${\displaystyle \Phi }$Sea un conjunto numerable de tipos no aislados sobre el conjunto vacío.

Luego hay un modelo${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$que omite todo tipo en${\displaystyle \Phi }$. ^{[ 22 ]}

Esto implica que si una teoría en una signatura numerable tiene solo una cantidad numerable de tipos sobre el conjunto vacío, entonces esta teoría tiene un modelo atómico.

Por otro lado, siempre existe una extensión elemental en la que se realiza cualquier conjunto de tipos sobre un conjunto fijo de parámetros:

Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ser una estructura y dejar${\displaystyle \Phi }$ser un conjunto de tipos completos sobre un conjunto de parámetros dado${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

Luego hay una extensión elemental.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$que realiza cada tipo en${\displaystyle \Phi }$. ^{[ 23 ]}

Sin embargo, dado que el conjunto de parámetros es fijo y aquí no se menciona la cardinalidad de${\displaystyle {\mathcal {N}}}$Esto no implica que toda teoría tenga un modelo saturado. De hecho, que toda teoría tenga un modelo saturado es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y es cierto si se cumple la hipótesis del continuo generalizado . ^{[ 24 ]}

Los ultraproductos se utilizan como técnica general para construir modelos que realizan ciertos tipos. Un ultraproducto se obtiene a partir del producto directo de un conjunto de estructuras sobre un conjunto de índices I, identificando aquellas tuplas que coinciden en casi todas las entradas, donde "casi todas" se precisa mediante un ultrafiltro U sobre I. Un ultraproducto de copias de la misma estructura se conoce como ultrapotencia . La clave para utilizar ultraproductos en la teoría de modelos es el teorema de Łoś :

Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$Sea U un conjunto de σ -estructuras indexadas por un conjunto de índices I y U un ultrafiltro en I. Entonces cualquier σ -fórmula${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$es cierto en el ultraproducto del${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$por${\displaystyle U}$si el conjunto de todos${\displaystyle i\in I}$para qué${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$^{se encuentra} en U. [ ^{25 ]}

En particular, cualquier ultraproducto de modelos de una teoría es en sí mismo un modelo de esa teoría, y por lo tanto, si dos modelos tienen ultrapotencias isomorfas, son elementalmente equivalentes. El teorema de Keisler-Shelah proporciona un recíproco:

Si M y N son elementalmente equivalentes, entonces existe un conjunto I y un ultrafiltro U sobre I tales que las ultrapotencias por U de M y  : N son isomorfas. ^{[ 26 ]}

Por lo tanto, los ultraproductos proporcionan una forma de hablar de equivalencia elemental que evita por completo mencionar las teorías de primer orden. Los teoremas básicos de la teoría de modelos, como el teorema de compacidad, tienen demostraciones alternativas que utilizan ultraproductos, ^{[ 27 ]} y pueden usarse para construir extensiones elementales saturadas si existen. ^{[ 24 ]}

Las teorías ω -categóricas pueden caracterizarse por propiedades de su espacio de tipos:

Para una teoría completa de primer orden T en una signatura finita o numerable, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. T es ω -categórica.
2. Cada tipo en S _n ( T ) está aislado.
3. Para cada número natural n , S _n ( T ) es finito.
4. Para cada número natural n , el número de fórmulas φ ( x ₁ , ..., x _n ) en n variables libres, salvo equivalencia módulo T , es finito.

La teoría de${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$, que también es la teoría de${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$, es ω -categórico, como todo tipo n${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$sobre el conjunto vacío está aislado por la relación de orden por pares entre el${\displaystyle x_{i}}$Esto significa que todo orden lineal denso numerable es isomorfo al orden de la recta numérica racional. Por otro lado, las teorías de ℚ , ℝ y ℂ como cuerpos no son${\displaystyle \omega }$-categórico. Esto se deduce del hecho de que en todos esos campos, cualquiera de los infinitos números naturales puede definirse mediante una fórmula de la forma${\displaystyle x=1+\dots +1}$.

${\displaystyle \aleph _{0}}$-Las teorías categóricas y sus modelos contables también tienen fuertes vínculos con los grupos oligomórficos :

Una teoría completa de primer orden T en una signatura finita o numerable es ω -categórica si y solo si su grupo de automorfismos es oligomórfico.

Las caracterizaciones equivalentes de esta subsección, debidas independientemente a Engeler , Ryll-Nardzewski y Svenonius , a veces se denominan teorema de Ryll-Nardzewski.

En las signaturas combinatorias, una fuente común de teorías ω -categóricas son los límites de Fraïssé , que se obtienen como el límite de la amalgama de todas las configuraciones posibles de una clase de estructuras relacionales finitas.

Michael Morley demostró en 1963 que solo existe una noción de categoricidad no contable para teorías en lenguajes contables. ^{[ 28 ]}

Teorema de categoricidad de Morley

Si una teoría de primer orden T en una signatura finita o numerable es κ- categórica para algún cardinal no numerable κ , entonces T es κ -categórica para todos los cardinales no numerables κ .

La demostración de Morley reveló profundas conexiones entre la categoricidad no numerable y la estructura interna de los modelos, lo que se convirtió en el punto de partida de la teoría de la clasificación y la teoría de la estabilidad. Desde muchos puntos de vista, las teorías categóricas no numerables son las que mejor se comportan. En particular, las teorías completas fuertemente mínimas son categóricas no numerables. Esto demuestra que la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica dada es categórica no numerable, y que el grado de trascendencia del cuerpo determina su tipo de isomorfismo.

Una teoría que es a la vez ω -categórica e incontablemente categórica se denomina totalmente categórica .

Un resultado fundamental en la teoría de la estabilidad es el teorema del espectro de estabilidad , ^{[ 30 ]} que implica que toda teoría completa T en una signatura numerable cae en una de las siguientes clases:

1. No hay cardenales${\displaystyle \lambda }$tal que T es${\displaystyle \lambda }$-estable.
2. T es${\displaystyle \lambda }$-estable si y solo si${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$(véase la exponenciación cardinal para una explicación de${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$).
3. T es${\displaystyle \lambda }$-estable para cualquier${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$(dónde${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$es la cardinalidad del continuo ).

Una teoría del primer tipo se llama inestable , una teoría del segundo tipo se llama estrictamente estable y una teoría del tercer tipo se llama superestable . Además, si una teoría es${\displaystyle \omega }$-estable, es estable en cada cardinal infinito, ^{[ 31 ]} así que${\displaystyle \omega }$La estabilidad es más fuerte que la superestabilidad.

Muchas construcciones en teoría de modelos son más fáciles cuando se restringen a teorías estables; por ejemplo, todo modelo de una teoría estable tiene una extensión elemental saturada, independientemente de si la hipótesis del continuo generalizado es verdadera. ^{[ 32 ]}

La motivación original de Shelah para estudiar teorías estables fue decidir cuántos modelos tiene una teoría numerable de cualquier cardinalidad no numerable. ^{[ 33 ]} Si una teoría es categórica no numerable, entonces es${\displaystyle \omega }$-estable. De manera más general, el teorema de la brecha principal implica que si hay un cardinal no numerable${\displaystyle \lambda }$de tal manera que una teoría T tenga menos de${\displaystyle 2^{\lambda }}$modelos de cardinalidad${\displaystyle \lambda }$, entonces T es superestable.

La jerarquía de estabilidad también es crucial para analizar la geometría de conjuntos definibles dentro de un modelo de una teoría.${\displaystyle \omega }$-teorías estables, el rango de Morley es una noción de dimensión importante para conjuntos definibles S dentro de un modelo. Se define mediante inducción transfinita :

• El rango de Morley es al menos 0 si S no está vacío.
• Para α un ordinal sucesor , el rango de Morley es al menos α si en alguna extensión elemental N de M , el conjunto S tiene infinitos subconjuntos definibles disjuntos, cada uno de rango al menos α − 1.  
• Para α un ordinal límite distinto de cero , el rango de Morley es al menos α si es al menos β para todo β menor que α .

Una teoría T en la que cada conjunto definible tiene un rango de Morley bien definido se llama totalmente trascendental ; si T es numerable, entonces T es totalmente trascendental si y solo si T es${\displaystyle \omega }$-estable. El rango de Morley se puede extender a tipos estableciendo el rango de Morley de un tipo como el mínimo de los rangos de Morley de las fórmulas en el tipo. Así, también se puede hablar del rango de Morley de un elemento a sobre un conjunto de parámetros A , definido como el rango de Morley del tipo de a sobre A. También hay análogos del rango de Morley que están bien definidos si y solo si una teoría es superestable ( rango U ) o simplemente estable (Shelah's).${\displaystyle \infty }$-rango). Esas nociones de dimensión pueden usarse para definir nociones de independencia y de extensiones genéricas.

Más recientemente, la estabilidad se ha descompuesto en simplicidad y «no la propiedad de independencia» (NIP). Las teorías simples son aquellas en las que se puede definir una noción de independencia bien definida, mientras que las teorías NIP generalizan estructuras o-mínimas. Están relacionadas con la estabilidad, ya que una teoría es estable si y solo si es NIP y simple ^{[ 34 ]} , y diversos aspectos de la teoría de la estabilidad se han generalizado a teorías de una de estas clases.

La teoría de modelos finitos , que se concentra en estructuras finitas, diverge significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas utilizadas. ^{[ 54 ]} En particular, muchos resultados centrales de la teoría de modelos clásica fallan cuando se restringen a estructuras finitas. Esto incluye el teorema de compacidad , el teorema de completitud de Gödel y el método de ultraproductos para la lógica de primer orden . En la interfaz de la teoría de modelos finitos e infinitos se encuentran la teoría de modelos algorítmica o computable y el estudio de leyes 0-1 , donde los modelos infinitos de una teoría genérica de una clase de estructuras proporcionan información sobre la distribución de modelos finitos. ^{[ 55 ]} Las áreas de aplicación más destacadas de la teoría de modelos finitos son la teoría de la complejidad descriptiva , la teoría de bases de datos y la teoría de lenguajes formales . ^{[ 56 ]}

Cualquier teoría de conjuntos (expresada en un lenguaje numerable ), si es consistente, tiene un modelo numerable; esto se conoce como la paradoja de Skolem , ya que existen enunciados en la teoría de conjuntos que postulan la existencia de conjuntos no numerables y, sin embargo, estos enunciados son verdaderos en nuestro modelo numerable. En particular, la demostración de la independencia de la hipótesis del continuo requiere considerar conjuntos en modelos que parecen no numerables cuando se observan desde dentro del modelo, pero que son numerables para alguien fuera del modelo. ^{[ 57 ]}

El punto de vista de la teoría de modelos ha sido útil en la teoría de conjuntos ; por ejemplo, en el trabajo de Kurt Gödel sobre el universo construible, que, junto con el método de forzamiento desarrollado por Paul Cohen, puede demostrarse que prueba la independencia (nuevamente filosóficamente interesante) del axioma de elección y la hipótesis del continuo respecto de los demás axiomas de la teoría de conjuntos. ^{[ 58 ]}

En la otra dirección, la teoría de modelos se formaliza dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Por ejemplo, el desarrollo de los fundamentos de la teoría de modelos (como el teorema de compacidad) se basa en el axioma de elección y, de hecho, es equivalente, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin elección, al teorema del ideal primo booleano. ^{[ 59 ]} Otros resultados en teoría de modelos dependen de axiomas de la teoría de conjuntos que van más allá del marco estándar de ZFC. Por ejemplo, si se cumple la Hipótesis del Continuo, entonces todo modelo numerable tiene una ultrapotencia que está saturada (en su propia cardinalidad). De manera similar, si se cumple la Hipótesis del Continuo Generalizada, entonces todo modelo tiene una extensión elemental saturada. Ninguno de estos resultados se puede demostrar solo en ZFC. Finalmente, se ha demostrado que algunas cuestiones que surgen de la teoría de modelos (como la compacidad para lógicas infinitas) son equivalentes a axiomas de cardinalidad grande. ^{[ 60 ]}