Curva elíptica modular

Gráficas de las curvas elípticas ^{y² = x³} − x e y² = x³ − x + 1. Si *las* ^consideramoscomo ^curvassobre los números racionales, el teorema de modularidad ^afirma que pueden parametrizarse mediante una curva modular.

Una curva elíptica modular es una curva elíptica E que admite una parametrización X ₀ ( N ) → E mediante una curva modular . Esto no es lo mismo que una curva modular que resulta ser una curva elíptica, lo que podría denominarse una curva modular elíptica. El teorema de modularidad , también conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura, afirma que toda curva elíptica definida sobre los números racionales es modular.

Historia y significado

En las décadas de 1950 y 1960, el matemático japonés Goro Shimura conjeturó una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares , basándose en ideas de Yutaka Taniyama . En Occidente, esta conjetura se popularizó gracias a un artículo de André Weil publicado en 1967. Dado que Weil aportó evidencia conceptual, a veces se la denomina conjetura de Taniyama-Shimura-Weil . Esta afirma que toda curva elíptica racional es modular .

En una rama de desarrollo aparte, a finales de la década de 1960, Yves Hellegouarch concibió la idea de asociar soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. ^{[ 1 ]} La curva consta de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen la relación

y^{2}=x(xa^{n})(x+b^{n}).\,

Dicha curva elíptica gozaría de propiedades muy especiales, que se deben a la aparición de altas potencias de números enteros en su ecuación y al hecho de que a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ también es una potencia n .

En el verano de 1986, Ken Ribet demostró que, tal como Gerhard Frey había anticipado, un caso especial de la conjetura de Taniyama-Shimura (aún sin probar en ese momento), junto con la conjetura épsilon ahora probada (conocida como el teorema de Ribet ), implica el Último Teorema de Fermat. Por lo tanto, si la conjetura de Taniyama-Shimura es verdadera para curvas elípticas semiestables , entonces el Último Teorema de Fermat sería verdadero. Sin embargo, este enfoque teórico se consideraba inalcanzable, ya que la conjetura de Taniyama-Shimura se consideraba completamente inaccesible a la demostración con el conocimiento actual. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, el ex supervisor de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de demostrar realmente", ^{[ 3 ]} y Ken Ribet se consideraba "uno de la gran mayoría de las personas que creían que [era] completamente inaccesible". ^{[ 4 ]}

Al enterarse de la demostración de la conjetura épsilon en 1986, Wiles decidió comenzar a investigar exclusivamente para demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Ribet comentó más tarde que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la Tierra que tuvo la audacia de soñar con que realmente se podía demostrar [esto]". ^[⁴^]

Wiles anunció por primera vez su demostración el miércoles 23 de junio de 1993, en una conferencia en Cambridge titulada "Curvas elípticas y representaciones de Galois". ^{[ 5 ]} Sin embargo, en septiembre de 1993 se descubrió que la demostración contenía un error. Un año después, el lunes 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de [su] vida profesional", Wiles dio con una revelación, "tan indescriptiblemente hermosa... tan simple y tan elegante", que le permitió corregir la demostración para satisfacción de la comunidad matemática. La demostración correcta se publicó en mayo de 1995. La demostración utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números , y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat.

Teorema de modularidad

El teorema establece que cualquier curva elíptica sobre Q puede obtenerse mediante una aplicación racional con coeficientes enteros a partir de la curva modular clásica.

X_{0}(N)\

para algún entero N ; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Este mapeo se llama parametrización modular de nivel N. Si N es el entero más pequeño para el cual se puede encontrar tal parametrización (que por el propio teorema de modularidad ahora se sabe que es un número llamado conductor ), entonces la parametrización puede definirse en términos de un mapeo generado por un tipo particular de forma modular de peso dos y nivel N , una nueva forma normalizada con expansión q entera , seguida si es necesario por una isogenia .

El teorema de modularidad implica una afirmación analítica estrechamente relacionada: a una curva elíptica E sobre Q podemos adjuntar una serie L correspondiente . La serie L es una serie de Dirichlet , comúnmente escrita

L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

donde el producto y los coeficientes $a_{n}$ se definen en la función zeta de Hasse-Weil . La función generadora de los coeficientes $a_{n}$ es entonces

f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.

Si hacemos la sustitución

q=e^{2\pi i\tau }\

vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función $f(\tau ,E)$ de la variable compleja τ , por lo que los coeficientes de la serie q también se consideran como los coeficientes de Fourier de $f$ La función obtenida de esta manera es, sorprendentemente, una forma cúspide de peso dos y nivel N y también es una forma propia (un vector propio de todos los operadores de Hecke ); esta es la conjetura de Hasse-Weil , que se deduce del teorema de modularidad.

Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomorfas para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede escribirse (salvo isogenia) como un producto de variedades abelianas irreducibles , que corresponden a autoformas de Hecke de peso 2. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las autoformas de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al hallar la forma de cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella es isógena a la curva original (pero, en general, no isomorfa a ella).

Referencias

^ Hellegouarch, Yves (2001). Invitación a las Matemáticas de Fermat-Wiles . Prensa académica. ISBN 978-0-12-339251-0.
↑ Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 203–205, 223, 226}
↑ Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 226}
1 2 Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 223}
↑ Kolata, Gina (24 de junio de 1993). "Por fin, el grito de '¡Eureka!' en un antiguo misterio matemático" . The New York Times . Consultado el 21 de enero de 2013 .

Lecturas adicionales

Wiles, Andrew (1995), "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 141 (3): 443– 551, CiteSeerX 10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118559 , MR 1333035
Wiles, Andrew (1995), "Formas modulares, curvas elípticas y el último teorema de Fermat", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Zúrich, 1994) , Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 243–245 , MR 1403925

[1] Hellegouarch, Yves (2001). Invitación a las Matemáticas de Fermat-Wiles . Prensa académica. ISBN 978-0-12-339251-0.

[singh-2] Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 203–205, 223, 226}

[3] Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 226}

[ReferenceA-4] 1 2 Singh, Simon (octubre de 1998). El enigma de Fermat . Nueva York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Zbl 0930.00002 . ^{: 223}

[nyt-5] Kolata, Gina (24 de junio de 1993). "Por fin, el grito de '¡Eureka!' en un antiguo misterio matemático" . The New York Times . Consultado el 21 de enero de 2013 .

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