ecuación modular

En matemáticas , una ecuación modular es una ecuación algebraica satisfecha por módulos , ^{[ 1 ]} en el sentido de problemas de módulos . Es decir, dada una serie de funciones en un espacio de módulos , una ecuación modular es una ecuación que se cumple entre ellas, o dicho de otro modo, una identidad para módulos.

El uso más frecuente del término ecuación modular se relaciona con el problema de los módulos para curvas elípticas . En ese caso, el espacio de módulos es de dimensión uno. Esto implica que cualesquiera dos funciones racionales F y G , en el campo de funciones de la curva modular, satisfacen una ecuación modular P ( F , G ) = 0, donde P es un polinomio no nulo de dos variables sobre los números complejos . Para una elección adecuada y no degenerada de F y G , la ecuación P ( X , Y ) = 0 define la curva modular.

Esto se puede matizar diciendo que P , en el peor de los casos, será de grado alto y la curva plana que define tendrá puntos singulares ; y los coeficientes de P pueden ser números muy grandes. Además, las "cúspides" del problema de los módulos, que son los puntos de la curva modular que no corresponden a curvas elípticas verdaderas sino a casos degenerados, pueden ser difíciles de deducir a partir del conocimiento de P.

En ese sentido, una ecuación modular se convierte en la ecuación de una curva modular . Estas ecuaciones surgieron por primera vez en la teoría de la multiplicación de funciones elípticas (geométricamente, el mapa de recubrimiento n ² veces de un 2- toro a sí mismo dado por el mapeo x → n · x en el grupo subyacente) expresado en términos de análisis complejo .

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