Representación de grupos modulares

En matemáticas , la representación de grupo modular (o simplemente representación modular ) de una categoría tensorial modular${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una representación del grupo modular${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$asociado a${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Es de la existencia de la representación modular que las categorías tensoriales modulares obtienen su nombre. ^{[ 1 ]}

Desde la perspectiva de la teoría cuántica de campos topológica , la representación modular de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$surge naturalmente como la representación del grupo de clases de mapeo del toro asociado a la teoría cuántica de campos topológica de Reshetikhin-Turaev asociada a${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 2 ]} De este modo, las categorías tensoriales modulares pueden utilizarse para definir representaciones proyectivas de los grupos de clases de mapeo de todas las superficies cerradas.

Asociado a cada categoría de tensor modular${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, es un teorema que afirma que existe una representación unitaria de dimensión finita${\displaystyle \rho _{\mathcal {C}}:{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to U(\mathbb {C} [{\mathcal {L}}])}$dónde${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$es el grupo de matrices enteras invertibles de 2x2,${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathcal {L}}]}$es un espacio vectorial con una base formal dada por elementos del conjunto${\displaystyle {\mathcal {L}}}$de clases de isomorfismo de objetos simples, y${\displaystyle U(\mathbb {C} [{\mathcal {L}}])}$denota el espacio de operadores unitarios${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathcal {L}}]}$en relación con la estructura del espacio de Hilbert inducida por la base canónica. ^{[ 2 ]} Dado que${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$a veces se le denomina grupo modular , esta representación se denomina representación modular de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Es por esta razón que las categorías tensoriales modulares se denominan "modulares".

Existe una presentación estándar de${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$, dado por${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )=<\left.s,t\right|s^{4}=1,\,\,(st)^{3}=s^{2}>}$. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, para definir una representación de${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$Basta con definir la acción de las matrices${\displaystyle s,t}$y para demostrar que estas acciones son invertibles y satisfacen las relaciones en la presentación. Para ello, es habitual definir matrices${\displaystyle S,T}$llamado modular${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$matrices. Las entradas de las matrices están etiquetadas por pares.${\displaystyle ([A],[B])\in {\mathcal {L}}^{2}}$El modular${\displaystyle T}$La matriz - se define como una matriz diagonal cuya${\displaystyle ([A],[A])}$-la entrada es la${\displaystyle \theta }$-símbolo${\displaystyle \theta _{A}}$. El${\displaystyle ([A],[B])}$entrada del modular${\displaystyle S}$-matriz se define en términos del trenzado, como se muestra a continuación (tenga en cuenta que ingenuamente esta fórmula define${\displaystyle S_{A,B}}$como un morfismo${\displaystyle {\bf {1}}\to {\bf {1}}}$, que luego puede identificarse con un número complejo ya que${\displaystyle {\bf {1}}}$es un objeto simple).

El modular${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$Las matrices no proporcionan inmediatamente una representación de${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$- solo dan una representación proyectiva . Esto se puede solucionar mediante un desplazamiento.${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$por ciertos escalares. Es decir, definiendo${\displaystyle \rho _{\mathcal {C}}(s)=(1/{\mathcal {D}})\cdot S}$y${\displaystyle \rho _{\mathcal {C}}(t)=(p_{\mathcal {C}}^{-}/p_{\mathcal {C}}^{+})^{1/6}\cdot T}$define una representación modular adecuada, ^{[ 2 ]} donde${\textstyle {\mathcal {D}}^{2}=\sum _{[A]\in {\mathcal {L}}}d_{A}^{2}}$es la dimensión cuántica global de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle p_{\mathcal {C}}^{-},\,\,p_{\mathcal {C}}^{+}}$son las sumas de Gauss asociadas a${\displaystyle {\mathcal {C}}}$donde en ambas fórmulas${\displaystyle d_{A}}$son las dimensiones cuánticas de los objetos simples.